資本主義の方程式

 今回は、前回に予告した通り小野善康『資本主義の方程式 経済停滞と格差拡大の謎を解く』中公新書の紹介をしよう。一回ではまとめきれないので、何回かに分けて紹介するつもりだ。

この本は、タイトルの通り、たった一つの基本方程式で、資本主義の二つの状態「成長経済」「成熟経済」における経済メカニズムのあり方の違いをはっきり区別するものである。端的にまとめれば、「成長経済」と「成熟経済」は、正反対の様相を持ち、したがって、経済政策の効果は真逆になる、ということである。日本の政治家(および指南役の経済学者やエコノミスト)はずっと、「成長経済」での景気後退に効く政策から頭が離れず、それを「成熟経済」に対して実施してきたので、日本経済は迷走を続けている、というのが小野さんのメインの主張だ。

 小野さんはこれまで、不況動学の本を何冊も書いてきた。それらの専門書・解説書に比べて本書の新しい点はどこか、を最初に箇条書きでまとめておく。

(A)  動学モデルの基本方程式を、最新型に刷新し、しかも今までよりずっとわかりやすい形式で、提示している。

(B)  「貨幣選好」だけでなく、新しく「資産選好」を加えたため、ゼロ金利、資産バブルを説明できるようになっている。

(C) 既存のマクロ経済理論の簡潔にして明瞭なサーベイが提示されている。

(D)ケインズ経済学(IS-LM分析)の「消費関数」のどこが間違いかをはっきりさせ、「新消費関数」を提示している。ついでにMMTのダメな点も指摘している。

(E)  あらゆる景気刺激策に対して、その効果の善し悪しを理論的に評価している。

(F) 不況下での格差拡大のメカニズムを理論的に解明している。

(G) 国際経済への応用も示し、マンデル・フレミングの間違いを正し、新理論を提示している。

(H) 基本方程式から、資本主義社会のあるべき姿を提唱している。

( I )  随所に適切な実証データが投入されている。

 今回は、以上のうち、(A)と(B)について紹介しようと思う。

まず、小野さんが提出している「資本主義の基本方程式」とは、以下である。

 \gamma(m,c)+\delta(a,c)=\rho+\pi

 where \pi=\alpha(\frac{y-y^f}{y^f})

記号の説明をすると、左辺のcmaはそれぞれ実質消費量、実質貨幣量、実質資産量。(文字は、consumption、money、assetに由来)。ここで「実質」とは、物価で割った値であることを意味する言葉。例えば、消費に使う金額をC、物価をPとすれば、実質消費量cは、C/Pとなる。右辺の\piは「インフレ率」(物価の変化率)で、\rhoは「時間選好率」。「時間選好率」とは、「今の消費を我慢することによる不満分をちょうど補うだけの将来の消費増分」のこと。経済学では、「今1万円もらって消費をするのと、1年後に1万円もらって消費をするのとでは、今の方を好む」とされていて、「今1万円もらって消費をするのと、1年後に1.2万円もらって消費をするのとなら、どっちでも良い」となる場合の増加分0.2を時間選好率と呼んでいる。

その上で、 \delta(a,c)とは、「資産プレミアム」と呼ばれる量で、「資産を一定期間1円を多く保有することで生まれる付加的な満足度と同等の満足度を、モノの消費を今増やすことによって得るには、どのくらいの額が必要か」という量を表す。大事なことは、「消費の金額」の単位で表されている、ということ。(本書では省略されているが、もっと経済学的な説明を、ミクロ経済学の知識がある人に向けて最後の補足で説明する)。

さらに、 \gamma(m,c)は、「流動性プレミアム」と呼ばれる量で、「貨幣を1円多く持つことによる取引の便利さからの満足度と同じ水準の満足度を消費によって得るには、消費をいくら増やせばよいか」を表す。貨幣は、「いつでもその額面の何とでも交換できる」という利便性を備えた財であり、「その利便性の満足を消費から得るなら」という量が「流動性プレミアム」なのである。

whereのあとで説明しているのは、インフレ率\piがどう決まっているか。もちろん、方程式の中の\piを置き換えてもいいが、わかりやすさのために分離しておいた。この式において、y^fは供給能力。すなわち、全資本と全労働者をフル稼働するとどのくらいの生産物ができるかを表す。一方、yは総需要で、人々がどのくらいの量の生産物を欲しているかを表す。したがって、whereのあとの式は、「インフレ率が総需要量と供給能力との乖離(超過需要率)に比例する」という仮定を表している。比例定数\alphaは、物価調整の効率性を表す。

基本方程式 \gamma(m,c)+\delta(a,c)=\rho+\piが成り立つのは、左辺が貯蓄1円増(資産1円増)の総便益を表し、右辺が貯蓄のコストを表すからである。右辺の\rhoは消費を将来に回すときのご褒美分を意味し、\piがインフレによる消費の値上がり分を表すから、貯蓄の総便益はこの和をぴったり補わなければならない。それがこの方程式の意味である。

 ここで、本書は、資産保有と貨幣保有の関係について次のように説明する。すなわち、収益資産1円増の総便益は、利子Rと資産プレミアムの和 \delta(a,c)+Rとなる。他方、貨幣1円増の総便益は \delta(a,c)+\gamma(m,c)となる(貨幣保有は資産保有もかねていることに注意せよ)。この二つの総便益は等しくならなければならない。なぜなら、資産保有の総便益が上回るなら、保有している貨幣を1円資産に回せば総便益の和が増加するからだ。逆の場合もしかり。よって、 \delta(a,c)+R=\delta(a,c)+\gamma(m,c)が成り立ち、したがって、 R=\gamma(m,c)となる。言葉で言えば、「流動性プレミアムは利子率と等しい」ということだ。

 基本方程式 \gamma(m,c)+\delta(a,c)=\rho+\piを土台にして、小野さんは「成長経済」と「成熟経済」を分類する。

まず、成長経済とは、生産能力y^fがまだ低く、そのため人々の消費水準も低く、消費増大意欲の強い経済のことだ。金融資産も少ない。この経済において、仮に人々が貯蓄を優先して消費を抑え、モノの総需要yが生産能力に届かない乖離が起きたらどうなるか。総需要yが供給能力y^fより小さくなるので、人手が余り、物価の下落(whereの式でインフレ率\piが負、つまりデフレ)が起きる。すると、実質資産量aも実質貨幣量mも増大する(物価で割った量だから)。これは基本方程式の左辺が小さくなることを意味するので、右辺「貯蓄のコスト」(=消費の便益)が相対的に大きくなり、人々は消費を増やすように行動する。これでyが増加していき、すぐに生産能力y^fを実現する。こうなると、インフレ率は0となり(whereの式)、経済は動かなくなり、完全雇用に復帰する。他の調整については本書で読んで欲しいが、要するに、物価の変化によって、実質資産量と実質貨幣量が柔軟に変化し、消費と貯蓄が自動調整される、ということなのだ。だから放っておいても経済は安定する。

他方、生産能力y^fも消費cも十分に大きくなった「成熟経済」では、これと異なる様相が生じる。それは、小野さんの仮定「資産プレミアム \delta(a,c)は、同じ消費cに対して資産aの増加によって小さくなっていくが、資産aも消費cも十分大きい場合、同じ消費cに対して資産aの増加による資産プレミアム \delta(a,c)の低下は止まり、一定量\bar{\delta}(c)以下には下がらなくなる」に依存する。専門用語では「限界効用の非飽和性」、ひらたく言えば、「底なし沼のような金持ち願望」ということだ。これが理論のキモとなる。つまり、資産プレミアムが資産量増加に無反応になる、ということだ。こうなると、上の「成長経済」のところで述べた自動調整機能が働かなくなる。総需要が生産能力を下回り、デフレが起き、資産量と貨幣量の増大が起きても、資産プレミアムが資産量に無反応になるので、消費は刺激されず、貯蓄にいそしむだけになる。したがって、需要不足はいつまでたっても解消されず、長期不況が到来する。

今の説明において、流動性プレミアム \gamma(m,c)のほうはどうなっているのか?ここが、最初に述べた(B) の点である。要するに「ゼロ金利」のメカニズムなのである。すなわち、(実質)貨幣量mが増加するに従って、流動性プレミアム \gamma(m,c)は減少する。貨幣量が限度を超えて増加すれば、流動性プレミアムはゼロに収斂する。すると上のほうで説明した等式 R=\gamma(m,c)から、利子率Rもゼロとなる。これがゼロ金利である。したがって、デフレによる貨幣量の増大も基本方程式の左辺に変化を与えないのである。まとめると、資産量も消費量も十分に大きくなった成熟経済の基本方程式は、\bar{\delta}(c)=\rho+\piとなる。

 リーマンショックが起きたあと、リフレ政策がとりざたされ、同時に小野さんの不況動学も話題になった。そのとき、小野さんの当時の本では貨幣保有の便益だけを扱っていたため、「利子率=貨幣保有の便益」という等式となっており、「貨幣保有の便益の非飽和性」から不況を説明していた。これに対して、「利子率=貨幣保有の便益>0」となって「ゼロ金利じゃないじゃん、現実に合わないじゃん」という批判がなされた。小野さんは当時から資産プレミアムと流動性プレミアムと両方考えていたが、簡便性の目的で本には後者だけを要として説明していたために浴びてしまった批判だった(とぼくは思っている)。そこで今回、小野さんは、ゼロ金利を説明すべく、資産プレミアムと流動性プレミアムを区別して導入したのであろう。

長くなってしまったので、(D)、(F)、(G)については次回以降に紹介することにする。

(ミクロ経済学の心得のある人向けの補足)

資産プレミアム「資産を一定期間1円を多く保有することで生まれる付加的な満足度と同等の満足度を、モノの消費を今増やすことによって得るには、どのくらいの額が必要か」とは、要するに、v^{\prime}(a)/u^{\prime}(c)、のこと。ここで、u(x)は消費の効用関数で、v(x)は資産保有の効用関数。以前の小野さんの本ではこう提示されていた。なぜ、これが上の説明になるのか。

まず、関数f(x)xが微少量だけ増えてx+\epsilonになったときの関数値の増分が、近似的にf^{\prime}(x)\times \epsilonであることを思い出そう(テイラー展開)。これを念頭に置き、caが実質値であることに注意すれば、消費をv^{\prime}(a)/u^{\prime}(c)円分だけ増加させたときの効用の増加は、u^{\prime}(c)\times (v^{\prime}(a)/u^{\prime}(c))/P=v^{\prime}(a)\times(1/P)。これはまさに「1円資産を増やしたときの付加的な満足度」になっている。

 

 

 

 

酔いどれ日記15

今夜はSaumurの白ワインを飲んでる。不思議な香りがあって好み。

このところ、ずとまよ(ZTMY;ずっと真夜中でいいのに)の新譜「伸び仕草懲りて暇乞い」におまけでついているBDを繰り返し観まくっている。これは、ブルーノート東京で行われた無観客のライブ映像。ジャズクラブなので、アン・プラグドという体裁だ。

このライブ演奏はあまりにすごい。本当にあまりにすごいのだ。

アン・プラグドだし、ジャズっぽいアレンジなので、ACAねさんの超絶的な歌のうまさが際立つ。アレンジ自体もめちゃめちゃかっこいい。若い女の子(と言ったら失礼だろうが)にどうしてこんなことが可能なのかとのけぞってしまった。

ぼくは、ブルーノート東京には一度だけ行ったことがある。マイク・スターンというギタリストのライブを観に行ったときだ。スターンというのは、超テクのジャズ・ギタリスト。マイルス・ディヴィスの復帰アルバム「ザ・マン・ウィズ・ザ・ホーン」で有名になった。ライブの後半は、日本の超テク・ギタリスト渡辺香津美さんがジョイントして、あまりのかっこよさに胸が熱くなった。

ぼくは、大学の同級生のアパートで、初めて、マイルスのアルバムを聴き、それが「ザ・マン・ウィズ・ザ・ホーン」だった。そのとき、スターンの演奏にぶっとんだのを今でも鮮烈に覚えている。友人は「これはジャズじゃない」「マイルスはロックに魂を売った」みたいに言われている、と話してたけど、ぼくには「ジャズかどうか」なんてことはどうでも良かった。スターンのアドリブ演奏は、ロックぽいリフでありながら、コルトレーンばりのモード奏法でもあり、こんなギンギンのギターをマイルスが自分の演奏に導入した、というのが驚きかつ衝撃だった。

 さて今日は、小野善康さんの新著『資本主義の方程式 経済停滞と格差拡大の謎を解く中公新書について、ちょっとだけ書こうと思う。多くの人必読の経済学書だと思うので、本格的な紹介は後日、「酔いどれ日記」ではなく、ちゃんとしたエントリーをするつもりだ。

この本は、たった一つの方程式を使って、不況やバブルや格差や円高不況について一刀両断にするものだ。「一刀両断」本というのは、たいてい、勢いだけの目も当てられないデタラメ本にすぎないものだ。でもこの本は、きちんとした整合的な経済モデルにのっとっているので、そういうまがいものとはぜんぜん違う、ということを(経済学者のはしくれとして)太鼓判を押しておく。

ぼくは、宇沢弘文先生のレクチャーを受けて経済学に目覚めた(その辺の事情は、このエントリーで読んでくださいな)。それで経済学部の大学院で勉強したい、と思うようになり、30代後半にそれを実現した。大学院での目標としていたのは、次の二つだった。

(A)  貨幣理論としてのケインズ経済学をきちんと理解したい

(B) 宇沢先生の社会的共通資本の理論を発展させたい

宇沢先生のレクチャーを受けて、この二つにとても引きつけられたからだ。ぼくが教わった頃の宇沢先生は、「新古典派」と呼ばれる経済理論(経済学会の現在の主流派)には、完全に批判的な立場をとっていた。憎悪と言っても過言でないほどの否定のしようだった。他方で、ケインズ経済学にはアンビバレントな気持ちを持っておられるようだった。不完全ではあるが、ポテンシャルを秘めていて、超克すべき理論と見ておられるようだった。

実際、テキストとされた宇沢弘文近代経済学の転換』岩波書店では、第3章「ケインズ経済学の生成」、第4章「『一般理論』と不均衡動学」と、2章をさいていた。第3章では、ケインズの生涯からケインズ理論の構築過程まで非常に詳しい解説がなされ、特に『貨幣改革論』『貨幣論』に関するサーベイがなされている。また、第4章では、動学理論(時間の流れを伴う運動理論)としてのケインズ経済学に焦点をあて、それを「不均衡動学」に発展させる構想を述べている。

とにかく、ぼくは、散りばめられている「貨幣」「不確実性」「時間」「論理」「推論」「不可知性」「合成の誤謬」「不均衡」と言った魔術的な言葉たちに魅了されてしまったのだ。それで、大学院で本格的に経済理論を勉強したいと願うようになったのである。

ところが、大学院では、上記の(A)も(B)も全く解決しなかった。解決しないどころか、失望させられることになった。大学院の先生方は、(A)にも(B)にもぜんぜん関心を持っておられず、研究したことも知識として仕入れたこともない風情だった。まあ、新古典派とは軌道がクロスさえしないので、仕方ないといえば仕方ない。失望したのは、ぼくの興味が「あさっての方向」だからであって、正しいのは先生方が教えてくれる経済学の方なのだろう、と諦めとともに自分を説得し、とりあえず、目をつぶって新古典派の修行をすることにしたのだった。

でも今回、『資本主義の方程式』を読んで、ぼくの興味は的を射ていたのだ、という確信に到達した。大学院ではそれこそ「あさっての理論」を教わっていたのだと思う。小野さんの本で、ぼくが70年代から21世紀の今まで見てきた日本の経済の風景のほとんどが説明できると思う。そのことは、次回以降に詳しく書こうと思う。

この本でぼくには、上記の(A)はほぼ解決してしまったと思う。宇沢先生に教わって苦節30年の年月が流れたけど、目標は達成されたのだ。だから、これからの残る人生は(B)に賭けようと思う。これにはまだまだやるべきことがふんだんにある。

こういうと多くの同業者を敵に回すと思うが、(A)でも(B)でもない経済モデルは単なる「数学の遊戯」なんだと思う。現実とはなんら関係ない「数学の遊戯」だ。もちろん、「だから意味はない」とは言わない。物理学や生物学にだって「数学の遊戯」分野はたくさんあると思う。「数学の遊戯」も楽しいものだし、遠い将来にはきっと(数理暗号のように)社会の役にたつ日もくることもあろう。だから、いわゆる主流の経済学をぼくは、「数学の遊戯」としてはいそしんで行こうとは思う。でも、それはライフワークではない。残るぼくのライフワークは(B)なのだ。

 

 

 

双子素数はどの程度の割合で存在するか?

今回は、ひさびさに、数学ネタをエントリーしよう。それは「双子素数」に関することだ。

双子素数とは、差が2の素数のペアのこと。一番最初は、3と5だ。次は5と7。その次は11と13になる。双子素数について最も有名な予想は「双子素数予想」と呼ばれるもので、「双子素数は無限組存在する」という予想である。これは多くの数学者が成り立つだろうと信じているけど、いまだに証明されていない。(この予想については、最近、急激な進展があったのだが、そのことはあとで触れる)。

素数が無限個ある」という事実は、古くから知られていて、ギリシャ時代の『ユークリッド原論』に証明が書いてあるぐらいだ。いまでは中学生でも証明できる。(証明を知らない人は、拙著『素数ほどステキな数はない技術評論社で知りましょう!)。ちなみに『ユークリッド原論』に書いてある証明はピタゴラスによるものだろうと考えられているそうだ。それに対して、「双子素数予想」のほうはとてつもなく難しい。素数がペアになるだけで、とんでもない難問になってしまうのだね。

双子素数x以下に何組ぐらい存在するか、についての評価式を手に入れた最初の数学者はブルンという人だ。彼は「ブルンの篩(ふるい)」と呼ばれる方法を用いて評価式を得た。ブルンの証明を知りたくて何冊もの専門書(解析的数論という分野)を手にしたけど、どの本を読んでもわかり難くくて、いつも挫折を余儀なくされてきた。ところが、最近入手したKevin Broughan『Bounded Gaps Between Primes』という本で、初めてわかりやすい解説に出会うことができた。なので今回は、この本に書いてある証明をおおまかに要約しようと思う。

ぼくはこの本をKindleで買ったんだけど、Kindleでは一部の数式が(なぜだか知らないが)とても小さいポイントになってしまっていて、異様に読みづらいことを付記しておく。

 この本は、「双子素数予想」に関して、古典的な結果から最近の進展までについて解説している。「GPYの定理」や、ザン・イータン(Zhan Yitang)による画期的ブレークスルー、そして最新のメイナードの定理まで網羅されていてすごい。ザン・イータンは「差が7000万以下の素数の組は無限に存在する」を示した。そして、メイナードが「差が246以下」まで改良したのだ。「差が2」まで改良できれば「双子素数予想」に到達できる。

ちなみに、この本によれば、「双子素数予想」がユークリッド時代から知られていたというのは俗説で、根拠がないそうだ。この予想への最初の言及は、1849年のポリニャックによるものとのことである。

 そして、この本の第2章は「The Sieves of Brun and Selberg」(ブルンの篩とセルバーグの篩)となっている。「篩(ふるい)」とは、要するに、ある種の性質の数を含むできるだけ少数の数集合を作り出し、その要素数を評価することだ。例えば、「10以上x以下の素数を全部含む集合」として、「10以上x以下の自然数から2の倍数、3の倍数、5の倍数、7の倍数を取り除いた集合」A_xを作る。これは(143=11×13など)素数でない数ももちろん含むが、10以上x以下の素数すべてを含んでいて、10以上x以下の自然数全体よりはだいぶ小さい集合である。集合A_xの要素数を正確にカウントする、あるいは評価することができれば、10以上x以下の素数の個数をおおざっぱに見積もることができる。ちなみにこの「篩A_x」は「エラトステネスの篩」と呼ばれるものだ。(エラトステネスはギリシャ時代の数学者)

Kevin Broughan『Bounded Gaps Between Primes』には、ブルンとセルバーグの履歴が書いてある。セルバーグは有名な数学者だが、ブルンについての書籍での記述は初めて見た。

ブルンは1885年生まれで1978年没のノルウェー人。ゲッチンゲン大学ヒルベルト、クライン、ランダウに師事したとのことだ。ノルウェートロンハイムの大学に勤務後、オスロ大学に移った。セルバーグは、1917年生まれ2007年没で、やはりノルウェーの数学者。プリンストン高等研究所に勤務。生粋の天才であり、すでに高校生のときに論文をパブリッシュしたらしい。ブルンの父親は彼が幼少のときに他界しているが、かたや、セルバーグの父親は数学者で、彼は父親の本から大きな影響を受けたといい、二人の生い立ちは対照的と言っていい。

 ブルンが双子素数について得た結果は次の二つ。

(定理A) x以下の素数pで、p+2素数になるような素数pの個数を\pi_2(x)と置くとき、x \rightarrow \inftyにおいて、\pi_2(x)<<\frac{x(loglog\,x)^2}{(log\,x)^2}

(定理B)  素数pで、p+2素数になるような素数p、の逆数和は収束する。

定理Aは「おお、やっぱりそうか」と思えるものである。有名な「素数定理」によって、「x以下の素数の個数\pi(x)\frac{x}{log\,x}に漸近する」ということが証明されている。これは x \times \frac{1}{log\,x}だから、「十分大きいx付近の数が素数である確率は、 \frac{1}{log\,x}だ」と解釈できる。であるから、「x素数x+2素数である確率は \frac{1}{log\,x} \times \frac{1}{log\,x}=\frac{1}{(log\,x)^2}だ」というおおざっぱな見積もりが浮かび上がる。ブルンの評価では、双子素数の「存在割合」は、その「確率」に(loglog\,x)^2を乗じたものより小さいとしているから、「なるほどね」と頷ける。ちなみに、「素数定理」の証明は前掲の『素数ほどステキな数はない』に概要を書いてあるので、是非ご覧になってほしい。

定理Bがその筋では有名な結果だ。オイラーが「素数の逆数をすべて加え合わせると無限大に発散する」という画期的な定理を証明した。これはもちろん、「素数が無限個あること」の新証明になっているが、素数の分布についてのもっと詳しい情報「素数はそんなに飛び飛びではない」を含んだ画期的な結果である。(前掲の拙著には、この定理のオイラーによる証明とエルデシュによる証明を収録しているので参照されたし←しつこくてすまんがこのブログは販促用なのでご容赦)。ブルンの定理Bは、オイラーの方法では「双子素数予想」が解決できないことを示している。別の言い方をすると、「双子素数は無限組あるとしても、かなり飛び飛びである」ということを教えてくれるのだ。

定理Aから定理Bを証明するのは、わりあい簡単で、『Bounded Gaps Between Primes』では次のように解説している。すなわち、定理Aから、次の評価式が得られる。

\pi_2(x)<<\frac{x}{(log\,x)^{1+\varepsilon}}   (ここで0<\varepsilon<1)。

p_nn組目の双子素数の最初の数(すなわち、x素数x+2素数であるようなxn番目のもの)とすると、\pi_2(p_n)=nとなる。したがって、

 n=\pi_2(p_n)\leq \frac{p_n}{(log\,p_n)^{1+\varepsilon}}

が出てくる。明らかにn \leq p_nだから、

 n\leq \frac{p_n}{(log\,n)^{1+\varepsilon}}

が得られる。これから、

\frac{1}{p_n}\leq\frac{1}{n(log\,n)^{1+\varepsilon}}

という評価が示され、右辺の総和は有限に収束することが(積分によって)わかる。

定理Aの証明は長いので、要点をかいつまむだけにする。大事な道具は2つ。1つ目は、「ブルンの純正篩」と呼ばれるもので、次の補題だ。

補題1(ブルンの純正篩) XN個の要素から成る有限集合とし、A_1,\dots,A_rXの部分集合とする。Xの要素でA_1,\dots,A_rのいずれにも属さないものの個数をN_0と置く。このとき、任意の偶数mに関して、次が成立する。

N+\sum_{j=1}^{m+1}(-1)^j\sum_{|S|=j}|\cap_{i\in S}A_i|\leq N_0 \leq N+\sum_{j=1}^{m}(-1)^j\sum_{|S|=j}|\cap_{i\in S}A_i|

この補題は要するに、A_1,\dots,A_rの合併集合に入っていない要素数をカウントするもの。A_1,\dots,A_rのうちのいくつかの部分集合の共通部分を足したり引いたりする、いわゆる「包除原理」の計算になっている。受験でよく出る「100までに3の倍数でも5の倍数でもない整数はいくつある?」のような問題の解法に現れる計算だ。双子素数でないある種の整数たちを取り除いて、双子素数を含む小さい集合を作りだし、その個数N_0をこの式で評価するのである。

二つ目の補題は以下。

補題2  x>1とする。また、p_1,\dots,p_kを異なる奇素数とする。このとき、|\theta|<1が存在して、 ( xが積p_1\dots p_kで割り切れるなら\theta=0で)、

x以下のnn(n+2)が積p_1\dots p_kで割り切れるようなnの個数」=\frac{2^kx}{p_1\dots p_k}+2^k\theta

この定理の証明には、有名な「中国剰余定理」が利用される。「中国剰余定理」とは、例えば、「3で割ると余りがa、5で割ると余りがbなる数」が「15で割った余りで分類できる」というのを一般化したものである。

さて、この2つの補題は次のように利用される。今、y以下の素数を小さい順にp_1,\dots,p_rとする。また、双子素数のペアの小さい方pyより大きくx以下であるもの(yp\leq xかつp+2素数)の個数を\pi_2(y,x)と定義する。さらに、n \leq xなるnで、積n(n+2)p_1,\dots,p_rのいずれの素数の倍数ともならないnの個数をN_0(y , x)と定義する。さきほどの双子素数のかたわれpは、p+2素数だから、積p(p+2)p_1,\dots,p_rのいずれの素数の倍数ともならず、今のnの定義を満たしている。したがって、\pi_2(y,x) \leq N_0(y , x)が成り立つ。よって、N_0(y , x)を篩として利用すれば良いのだ。そこで、求めたい集合の裏側にあたる集合A_iを「積n(n+2)素数p_iの倍数となるnの集合」と定義して、(補題1)(補題2)を用いれば、N_0(y , x)を不等式で評価することができるのである。詳しくは『Bounded Gaps Between Primes』で勉強してほしい。

これで、中学生時代からの悲願であった「双子素数のブルンの篩による評価」を完全に理解することができた。次は「セルバーグの篩」にチャレンジし、数年以内に、メイナードの結果に到達することを目標としたい。

以上のもろもろの参考として、拙著『素数ほどステキな数はない』を強く推奨する(笑い)。

 

酔いどれ日記14

今夜はMontlouisという白ワインを飲んでる。何かの花のような匂いと独特の渋みがあって、複雑な味わい。

今回は受験現国の話をしよう。

ぼくは中高生のとき、現国は文系科目の中で唯一好きな科目だった。論説文も小説も詩も好きだった。高校で「はずれ」な現国教員に当たったときは、授業を聞かずにずっと資料集を読んでいた。資料集には、文豪たちの小説がちょっとずつ載っていたから、文体と世界観をオムニバスで楽しむことができたからだ。効率的にたくさんの作家を知った。「はずれ」な現国教員は1人だけで、教わった他の2人は「当たり」な教員だった。彼らには大きな影響を受けた。そのうちの1人については、すでに酔いどれ日記2に書いた。もう1人は女性で、専門は古文の先生だが、現国も教わった人だ。

その女性教員の現国の講義のときは、彼女の問いかけに対して、ぼくはとにかくやみくもに発言をした。なんでもいいからアピールして、存在感を示したかったからだ。それだから彼女は、ぼくが文系志望の生徒だと思いこんでおり、ある時、「数学ですごいやつがいる、って聞いてたけど、それが小島のことだとは露とも思わなかった」と言ってくれた。(たしかにぼくは、その学年では数学はぶっちぎりに出来ていた。自慢話が鼻につくかもしれないけど、後に東大数学科に進学したぐらいだから、普通の高校なら当然のことで、自慢でもなんでもない)。

そんなぼくだけど、現国の成績は決してよくなかった。その女性教員もそのことには気づいて首をひねってたことと思う。授業中には玉石混淆ながら、それなりに「玉」な発言をするぼくが、テストになるとたいした成績がとれないのを不思議に思ってただろう。

それで高3のとき、その女性教員に、「現国で点が取れるようになるにはどんな参考書をやったらいいでしょうか」と教えを乞うた。そうして、良質の現国問題集を一冊紹介してもらった。夏休みに、その問題集の問題を1日1題ずつ解いていくことに決めた。ところがそれが、数日で頓挫することになってしまったのだ。

それは、三島由紀夫の小説が出てきたときのことだった。あまりにすばらしい文章に唖然とし惚れ惚れとなった。実は、三島の小説を読んだのは、それが初めてだった。ほんの一部を切り取ったものにすぎないけど、完璧で美しく魅力的だった。ぼくは問題を解く気にならず、何度も読み返しただけだった。それ以来、ぼくはその問題集を開くことはなかった。三島由紀夫の本はその後、30歳頃に一冊だけ読んだ。『音楽』という小説で、これもぼくがイメージしていた通りの、あまりに完璧で美しい文章だった。

これはぼくの悪癖だった。ぼくは現国の問題文ですばらしい文章に出会うと、問題を解く気が消滅してしまう。問題を解くことがその文章に対する冒涜のようにさえ感じられるのである。これでは現国ができるようになるはずはない。世の中にはぼくと同じ悪癖を持つ人が多くいるのではないかと思う。そんな人も悲観する必要はない、と声を大にして言いたい。そういう悪癖のぼくも、現国の不得意なぼくも、大人になって文筆家になり、数十冊の書籍を刊行しているもんね。

「受験科目」としての現国には馴染めなかったぼくだが、現国の勉強から大きな影響を受けた。ぼくは友達を参考に、Z会の通信添削を受講することにした。国数英の3教科だった。数学はそんなに問題が面白いとは思えなかった(満点を取れるわけじゃないけど、毎回高得点はとれて、名前が載った)。英語は不得意だったので毎回、四苦八苦しながら解いたが、記憶に残るほど面白いものではなかった。でも現国は、毎回、感心した。今でも記憶に残っているのは、なだいなださんの論説についての出題だった。

なだいなださんは、精神科医で評論家だ。ぼくがZ会の現国問題で読んだ文章は、(曖昧な記憶で書くことをご容赦)、「~イズム」というのが要するに「中毒だ」というものだった。その証拠として、「アルコール中毒」のことを英語でalcoholismというのだ、ということを挙げた。そうか!とぼくは膝を打った。「そうか、マルクシズムもキャピタリズムも、みんな中毒なんだな」とぼくはものすごく溜飲が下がってしまったものだった。なだいなださんの評論には、常に、そういったペーソスとユーモアと、そして本質を突くものがあった。

その後、大学生の頃に、なだいなださんが雑誌に覆面で連載した評論を集めた『透明人間、街をゆく』を読んだ。これにもものすごく驚かされた。一番驚いたのは、三島由紀夫の自決事件についての評論だった。三島の思想や事件の背景にはあまり深入りせず、きわめて冷静に、三島の人となりについて論じていた。三島が同性愛関連でとりざたされるのは知ってはいたが、なだいなだがその点について、自決後の解剖報告に言及したのには驚愕した。医師ならではの視点だったのだろう。

最終的に、受験現国はぼくの得点源とはならず、足を引っ張らない程度のものだった。(足を引っ張られて浪人の憂き目を見たのは、英語と物理だった)。でも、受験現国のおかげでぼくは、現在の文筆家の生業を得ることができたのだと思う。「得点できること」と「将来の血肉となること」とは同じではないのだな。

 

 

酔いどれ日記13

今夜はSantenayの赤ワイン。かなり美味しい。

今日は、駒場寮の思い出をエントリーしようかな、と思う。

(今は知らないが)、ぼくが入学した頃の東大は、1、2年生は東大駒場前にある駒場キャンパスで授業を受けた。駒場キャンパスは、旧制一高に代わって作られたキャンパスだ。主に一般教養の講義がなされていた。

駒場キャンパスには、キャンパス内に駒場寮というのがあった。歴史のある寮だ。寮費が信じられないくらい安くて、貧困な学生にはありがたい存在だった。ぼくの所属したクラスは、クラスとして寮の部屋を一部屋確保した。寮費は大学祭(駒場祭)の露天の売り上げで捻出した。その部屋は、講義の合間に昼寝で休んだり、集まって麻雀したり、飲み会で帰れなくなったら宿泊したりするのに使った。とても便利だった。今でも懐かしく思い出される。

ところでぼくが初めて駒場寮に足を踏み入れたのは高校2年のときだった。

何しに行ったかというと、駒場寮の中で密かに行われていた、ある差別問題に関する研究会に参加するためだった。もちろん、その差別問題に興味があったのではない。当時惚れていた女の子に会いたい(体験を共有したい)一心だっただけだ。その女の子とは、酔いどれ日記1に書いたその子である。詳しいことは忘れてしまったが、「大学生たちが集って勉強をしているので、一緒に行ってみない?」とかなんとか言われて、ほいほいと出向いたんだと思う。

その日行ってみたら、到着が早すぎたらしく、彼女はまだ来ていなかった。というか、主催者の東大生一人しかいなかった。それでぼくは、その東大生の寮の部屋でみんなが集まるのを待つことになった。その東大生は(たぶん)経済学科の学生だったのだと推察された。本棚にぎっしりとマルクス・エンゲルス全集と宇野弘蔵著作集の全巻が並んでいたからだ。もちろん、その東大生は別の学科の学生で、単に左翼思想に心酔していただけの可能性もあるけど。

ちなみに宇野弘蔵とは、(よくは知らないんだけど)、日本のマルクス主義研究の第一人者だと思う。市民講座で宇沢弘文先生のゼミナールにいたとき、経済学部卒のおじいさんが、いつも宇沢先生の名前を間違って「宇野先生」と呼んでしまって、そのたびに宇沢先生が苦々しい表情をしたのが可笑しかったものだった。

ぼくは、その東大生の部屋でぼそぼそと会話をしながら、すごく威圧されていた。「東大生ってこんな感じなんだ」と遠い星空を仰ぐような気分だった。別の部屋からは、明らかにプログレッシブロックと思われる音楽が大音響で流れてきた。たぶんメロトロンを使った知らない曲だった。イギリス系のプログレはだいたい知っていたので、フランス系かイタリア系のバンドだったんだと思う。とても良い音響に聞こえたのは、オーディオが良かったのか、駒場寮の反響が良かったのか、それともぼくの緊張感のせいなのか、今となってはわからない。

そのあと、数人が集まって、彼女も登場して、勉強会が始まった。その中に、上記の東大生の親友と思われるMという青年がいた。Mは東大生ではなく、というか、大学生ですらなく、たぶん浪人生かあるいは革命分子だったのだと思う。そして、このMと彼女が親密な関係にあることを、なんとなくけどってしまったのだ。それでぼくは、頭がぐるぐると旋回して、もうそのあとのことはすべて記憶から消えてしまった。

 駒場寮と言うと思い出されるのが、原口統三『二十歳のエチュードだ。原口統三は、詩人で、旧制一校に在籍。有名どころでは先輩の清岡卓行と親交があったらしい。旧制一校在学中に二十歳を目前に入水自死を遂げた。駒場寮の友人が遺稿を編集して刊行したのが『二十歳のエチュード』なのである。

この本は、詩集というより、詩句を断片的に綴ったようなもので、なんだかおしゃれで格好いい。例えば、

肯定が負担にならないように要心したまえ。

ニーチェは重荷を担いで、苦しまぎれに威張り散らす。

だとか、

沈黙の楽園はもう失われたか。

小鳥たちは武装しなければならない。

だとか、あるいは、

ヴァレリィはこう言って嘆息した。そうして長い夢から僕は目がさめた。

だとか。なんか、当時の旧制一高の雰囲気を遠回しに感じられる。

実は、ぼくが『二十歳のエチュード』を読んだのは、上に登場した女の子からその文庫本をもらったからだった。なんで、彼女がこの本をくれたのかは今はすっかり忘れてしまった。そして、今のぼくの書斎の本棚には存在しない。ずっと後生大事に持っていたが、何かのきっかけで捨てたのだと思う。上で引用したのは、Kindleから0円でダウンロードしたバージョンである。

 

 

 

酔いどれ日記12

今夜は南アフリカのCageという白ワインを飲んでる。たいした価格ではないが、特有の苦みがあって好みの味だ。

 今回は、ちょっと調べたいことがあってたまたま拾い読みした、中山幹夫『社会的ゲームの理論』勁草書房から面白いネタをエントリーしようと思う。この本は、ゲーム理論がどのように社会の分析に役立つかを網羅した本だ。

 第1章はゲーム理論誕生の歴史を解説している。もちろん主役はフォン・ノイマンとモルゲンシュテルンだけど、フランスの数学者のエミール・ボレルも登場する。ボレルは、「ボレル集合」で有名だ。ボレル集合とは、ルベーグ積分(高校で習う積分は、リーマン積分だが、それよりもいろいろ操作性の良い積分理論)で、「測度」を定義するのに利用される概念である。ルベーグ積分は、測度論的確率論の土台となる。(測度論的確率論の意味合いについては拙著『確率を攻略する』ブルーバックス参照のこと)。

 そのボレルが、実はゲーム理論の研究を発表している、という事実が中山先生の前掲の本に書いてあった。ボレルは「じゃんけんの一般化」を考え、「混合戦略」を定義したとのことである。(混合戦略とは、選ぶ手を確率的に変化させること)。そして、フォン・ノイマンの用語で言えば「マックスミニ戦略」にあたる戦略についても分析したそうなのである。(マックスミニ戦略とは、ありうる中で最悪の利得が最大になるように手を選ぶ戦略)。数学者フレッシェは、「エミール・ボレルにこそゲーム理論創始者という名誉を与えるべきである」と訴えたそうだ。(フレッシェはたぶん、その筋では有名なフレッシェ微分の創案者だと思う)。

実際、フレッシェは1953年のエコノメトリカ誌に「エミール・ボレル心理的ゲームとその応用の創始者」と題するレターを寄稿した。これに対して、フォン・ノイマンが返答を掲載しているのだが、それが辛辣なものだったという。ミニマックス定理にたどりつけていないことを否定の材料とし、「フレッシェ教授ともあろう方が、戦略概念の単なる数学定義がゲーム理論創始者の主要な仕事と考えていることに多少の驚きを禁じえない」という皮肉を綴ったそうだ。

 フォン・ノイマンがナッシュの提案したナッシュ均衡について「それは、別の不動点定理にすぎない」と一笑に付した話は有名だから知っていたけど、ここでも同じような所業をしていたのだね。フォン・ノイマンの伝記には、彼の人格が露見するこの手のエピソードが事欠かない。

 学者の世界には、このように「価値判断」の問題は常につきまとう。ぼくも、研究報告で聞いた他人の論文について、心の中で「それほどでもないよな」と思ったものが、とても良いジャーナルに掲載されて、びっくりするとともに自分の批評眼の甘さを実感したこともあった(嫉妬まみれに)。また、自分が論文を投稿したときにも、レフリーによって評価が雲泥になることを経験し、採択・不採択もある種の「運」のなせる技だな、と感じる今日この頃である。

 さて、ぼくは最近、素数ほどステキな数はない』技術評論社を刊行したんだけど、(例えばこのエントリーを参照のこと)、その中で最も重要な参考文献のひとつが、エミール・ボレル素数文庫クセジュだったのだ。この本は、ボレルが確率論的な立場から素数を解説したものだ。初等的に「素数定理」に迫っていることがポイント。素数定理とは、「x以下の素数の個数\pi(x)は、\frac{x}{logx}に漸近する」というものだ。素数は不規則に出現するけど、マクロで見ると、その確率はだいたい\frac{1}{logx}と見なせる、というものである。ボレルはこの定理を、「2n個の異なるものからn個を選ぶ組み合わせ数」の計算を使って説明している。高校生にもわかるぐらいの非常に初等的な議論である。「証明」というにはほど遠いが、それでも、「素数定理」の成立と正しさを信じるに足るほどの見事なアプローチになっている。しかも絶妙に確率論的なアプローチなので感心する。ボレルの才能を垣間見られる。ボレルのアプローチについては、拙著で丁寧に解説しているので、読んでみてみてほしい。

 

 

 

 

 

 

 

酔いどれ日記11

今夜はコート・デゥ・ローヌの赤ワイン。今回は、PKディックSF小説のことを書こうと思う。

ディックの小説を初めて読んだのは、20代の中盤だったと思う。高校のときの親友が京都大学に進学して、そこで劇団の活動をしてた。親友が劇団で知り合った人の中に、SF小説SF映画に詳しい人がいて、親友もその人の影響でディックを読んでいた。ぼくはその二人からディックを紹介され、はまることになったんだ。

最初に読んだのは、たぶん、『火星のタイムスリップ』だったと思う。この小説には心底びっくらこいた。タイムスリップものとは言っても、そのタイムスリップの仕方がすごいんだよね。自閉症の子供は、心の中の時間の流れと現実の(外部の)時間の流れがずれているために自閉に陥る、と設定されていて、その時間の流れのズレを利用してタムスリップするという、とんでもない発想。そして、サラリーマンの主人公は、つまらない失敗をやり直したいがために、自閉症の子供の心の中に入り込んで時間を遡ろうとして、悪夢のような時空にはまってしまう、という話。

このあとに読んだのが、かの有名な『アンドロイドは電気羊の夢を見るか』。映画「ブレードランナー」の原作となった小説だ。これは、火星で苦役を強いられているアンドロイドが地球に逃亡するので、それを始末する殺し屋の話である。アンドロイドはほとんど人間とそっくりなので、見分けるのに特殊な技術(テスト)が必要で、見抜いて抹殺すれば報奨金を得られるが、間違って人間を殺してしまうと殺人犯になってしまう。

この小説で最も面白いシーンは、主人公が自分自身もアンドロイドではないか、と疑って、自分で自分をテストするシーンだ。これは、「自然数論は自分自身が無矛盾であることが証明できるか」というゲーデルの第2不完全性定理を想起させるし、心を病んだものが自分が病んでいることを自覚できるか、という精神医学の問題にも抵触する。

このテーマに関して、30年くらい前、コンピューターに詳しい知り合いから面白い話を聞いた。(この話は一度エントリー済みかもしれないが、まあいいじゃん)。あるワープロソフトは、自分がオリジナルかコピーソフトで複製されたものかを判定するプログラムを内蔵している。もしもそれが複製されたものだと、3ヶ月ぐらい使ったあたりで「これは違法に複製されたものです。オリジナルを購入してください」というメッセージが表示されて、それ以降、使えなくなってしまうという。3ヶ月ぐらい使うと、そのワープロに慣れてしまうため、別のソフトに変更する気にならず、やむなくオリジナルを購入する、という仕掛けなのである。

ところが、これがうまくいかなかった。なぜかというと、オリジナルなのに、複製であるというメッセージが出ることが、頻出したからなのだ。オリジナルでも、(当時はフロッピーディスクだった)、ちょっとした傷や摩耗があると複製だと誤認してしまうという。ぼくはこの話を聞いたとき、「これって、ディックじゃん」って思ったものだった。

ぼくはディックの小説を、たぶん、20冊以上読んだと思う。時々、つまらない作品やはちゃめちゃすぎてついていけない作品をあったけど、だいたいの作品は面白かった。

ディックの大きなテーマは、「目の前の時空間の崩壊」なんだけど、とりわけ麻薬によるそれは面白いものが多かった。中でもいまだに鮮烈に覚えているのは『パーマー・エルドリッチの三つの聖痕』という作品だ。主人公は、チューZという強力な麻薬を使って幻覚世界に入り込む。そこは現実世界のわずかな時間の間に永遠もの時間を経験できる。過去や未来にも行き来できる。ところが、そこは実は悪夢のような世界だった。パーマー・エルドリッチという男が君臨し、自由自在に世界を作り変えることができるのだ。パーマー・エルドリッチは、義眼と義歯と義手という三つの聖痕を身につけて、どの空間、どの時間にも存在していた。

この小説は、麻薬トリップしているときの記述が卓越であり、読者をもバッド・トリップの迷宮に誘いこんでしまう迫力がある。そういう意味で、ぼくにとって、ディックの中でもものすごく好きな作品の一つだ。

パーマー・エルドリッチの三つの聖痕』があまりにも好きすぎて、ぼくは昔、受験雑誌『大学への数学』にパロディ小説を書いてしまった。それは「クンマー・エルドリッチの三つの正根」というタイトルの小説だ。

このパロディ小説は、ドラッグを使うことで複素数を使えるようになった受験生が、いくつかの受験問題を複素数によって簡単に解けるようになった一方、悪夢のような魔窟にはまってしまう、というストーリーである。それは、ある与えられた3次方程式に3つの正根があることが明らかなのに、それを求めようとすると虚数\sqrt{-3}が根の表記に現れて、どうしても消えなくなるという魔窟だったのだ。

この不可思議な現象は、簡単に言えば、3次方程式のガロア群の性質によるものなんだけど、詳しくは拙著『完全版 天才ガロアの発想力』技術評論社を参照してほしい。

クンマーとは、「フェルマーの大定理」に対して、初めて一般的な結果を与えた19世紀の数学者の名前だ。「フェルマーの大定理」は、ご存じのように、「n≧3のとき、x^n+y^n=z^nを満たす自然数x,y,zは存在しない」というものだけど、nが正則な素数(あるいは正則な素数で割りきれる自然数)については定理が成り立つ、という結果を証明したのだ。(正則素数については説明が面倒なので、ものの本にあたってほしい)。クンマー等の研究によって、円分体(1のべき根を有理数に加えた体)で定義される整数に類似した世界では、素因数分解の一意性が成りたたないことが判明した。これもバッドトリップの魔窟である。

リドリィー・スコット監督の映画「ブレードランナー」は、ディックの原作とはだいぶ面持ちの違う作品だけど、名作であることは疑いないので、未見なら観たほうが良いと思う。ぼくがこの映画を初めて観たのは、原作を読んだあとだった。カーペンター監督の『遊星からの物体X』と二本立てで観た。最初に物体Xを観て、あまりのすごさ(ひどさ)に頭が痺れてしまって、大丈夫だろうかと案じたけれど、「ブレードランナー」はその麻痺感覚をきれいに清浄したうえで、切ない気持ちになる感動を与えてくれる映画で、見まごうことなき名作だった。

ディックもブレードランナーも物体Xも、その京都大の人の勧めで知ることができた。その人は数年前に夭折したと人づてに聞いた。影響を大きく受けた人だけに、とても残念な気持ちになった。