『せいすうたん1』は数の宝石箱

今回は、関真一朗・小林銅蟲『せいすうたん1』日本評論社を紹介しよう。これはまるで、数の宝石箱のようなすばらしい本だ。

その前に、前回にも行った、ぼくが講義する市民講座の紹介を今回もやっておきたい。

早稲田エクステンションセンター　中野校

世界は数でできている～無理数から理解する株からカオス理論まで

全3回 2015年　02/07,　02/14,　02/21　(すべて金曜日) 15:05～16:35

(講義概要)

皆さんは、ルート2(2の平方根)やπ(円周率)やe(ネピア定数)などの無理数をご存じでしょう。しかし同時に、これらの無理数は私たちの生活とは無縁なものと思っておられるでしょう。この講義では、これらの無理数が実は、現実世界をつかさどっていることを解説します。例えば、株価は日々、乱高下します。その動きはでたらめのように見えますが、ある程度法則があり、そこに無理数が関わっています。また、火事や機械の故障などの突発的なできごとにも法則があり、ここにも無理数が出現します。このように、無理数は世界を読みとくカギになるのです。最後には、カオス理論という数学の先端理論にも足を延ばします。

詳しくは、以下のURLで見てほしい。

世界は数でできている | 小島寛之 | [公開講座] 早稲田大学エクステンションセンター

　さて、『せいすうたん1』だ。

これは、あまりに突拍子もない本。魅力的な性質を持っている数を集めて、一冊に詰め込んでいる。例えば、サブライム数、ゲーベル数列、シェルピンスキー数、アペリー数、弱い素数、ヴェーフェリッヒ素数など。まるで、きらきら輝く宝石を詰め込んだ宝石箱のような一冊だ。

せいすうたん1---整数たちの世界の奇妙な物語

作者:小林銅蟲,関真一朗
日本評論社

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この宝石箱を開けて中の宝石を手のひらに乗せるのがこよなく楽しいのは、次の理由による。

1. よくもこんな数を見つけることができたものだ、と発見した数学者の才能に舌を巻くことができる。

2. それらの数が単なる「おもちゃ」ではなく、数学の歴史的な有名問題に関わっていることを知ることができる。

3. それらの魅力的な性質に対して、本質的な部分についてのちゃんとした証明がついている。

4. 各章の冒頭に2ページのマンガがついている。

以上の4点について、どの点についても本書は希有な本だ。まず、そもそもこんなにたくさんの宝石を集めた本はほとんどない。ぼくも類書を1冊だけ持っているが、それは辞典のような本で、読んでいても決して面白くない。また、本書はこれらの宝石を出発点として、フェルマーの大定理や、ゼータ関数などの解説に足を延ばしている。つまり、現代数学の入門書としても機能している。そして最も貴重なことは、この本にはそれら宝石が宝石たる「証明」がきちんとついていることだ。これは、ぼくの知る限り、他の本にはない特徴である。マンガについては言うまでもあるまい。マンガもそれぞれ面白い。

ひとつ例を挙げよう。「弱い素数」というのが解説されている。「弱い素数」というのは、「正整数の十進表記において、任意に1つの桁の数を選び、その数を他の数(ただし、0, 1, 2, ･･･,9のいずれか)に変えると合成数になるような素数」のことだ。

例えば、素数294001が「弱い素数」である。実際、先頭の2を0に変えると94001になるが、94001=23×61×67だから合成数となる。先頭から3つめの(千の位の)数を1に変えた291001は、291001＝397×733だから合成数である。先頭から5つめの(十の位の)数を7に変えた294071も294071=409×719だから合成数となる。以上のように、ひとつの位の数だけを変えた54通りすべての数が合成数となるのである。こんなばかなことをどうして考えたのかと首をかしげる。

この「弱い素数」が無限に存在することがテレンス・タオによって証明されていることも書かれている。タオはそればかりでなく、「どの程度存在するのか」も突き止めているとのことだ。本書にはこのタオの定理の証明が収められているのだけれど、その過程で、双子素数の個数を評価する「ブルンのふるい」や「セルバーグのふるい」についての説明がなされている。これらの「ふるい」はなかなか良い解説書がないので、良い参考になるのではないか、と思う。

ぼくがとても興奮したのは、「シェルピンスキー数」という宝石だ。これは、「任意の正整数 $n$ に対して、 $k\cdot2^n+1$ がすべて合成数となるような $k$ 」のことだ。つまり、どんな2のべき乗を $k$ 倍して1を加えても、決して素数にはならないで、合成数になる、というわけなのだ。

例えば、78557がシェルピンスキー数だ。実際、

$78557\cdot2^1+1=5\times7\times67^2$ 、

$78557\cdot2^2+1=3\times104743$ 、

$78557\cdot2^3+1=73\times8609$ 、

･･･

のように、いかなる2べきに対しても78557を掛けて1を加えると合成数となってしまう。絶対に素数が出てこないのである。ちなみに、2べきでなくどんな正整数も許せば、無限個の素数が含まれることがわかっている。シェルピンスキー数は、それらの素数をよけて通るってわけ。本書には証明もきちんと紹介されている。合同式を使った初等的な方法なので、数学が得意な高校生なら理解できるだろう。

証明を読んでぼくが躍り上がったのは、証明の本源的アイデアが「フェルマー数」にあることを知ったからだ。「フェルマー数」というのは、 $2^{2^n}+1$ で計算される数列のこと。

$2^{2^0}+1=3$ , 　 $2^{2^1}+1=5$ ,　 $2^{2^2}+1=17$ , 　 $2^{2^3}+1=257$ , 　 $2^{2^4}+1=65537$ , ･･･

となる。最初の5個が素数なので、フェルマーは「すべて素数だろう」と予想したが、残念ながら6番目のフェルマー数は素数でないことがオイラーによって示された。この5個以外、現在のところ、素数は見つかっていない。

このフェルマー数が「78557がシェルピンスキー数である」ことの証明に活かされる、というのだから、フェルマーファンのぼくは感涙むせんでしまう。しかも、6番目のフェルマー数が素数でないことが有効に働くというのだから、面白いことこの上ない。

もう一つだけ紹介しておこう。それは「アペリー数」という宝石だ。これは、

$(n+1)^3a_{n+1}-(34n^3+51n^2+27n+5)a_n+n^3a_{n-1}=0, (a_0=1, a_1=5)$

という $n\geq1$ に関する漸化式で定義される数列である。具体的には、

1, 5, 73, 1445, 33001, ･･･

のようになっていく。次の項を求める際に、 $(n+1)^3$ での割り算が生じるが、これがいつも割り切れるというだけで驚きだ。しかし、この数列の真骨頂は違うところにある。それは、ゼータ関数との関係である。

ゼータ関数というのは、

$\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\dots$

で定義される(複素数 $s$ を変数とする)関数である。 $s=2$ のとき、 $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ となることは有名で、オイラーが証明した。オイラーはさらに、 $s$ が正の偶数のとき、 $\zeta(s)$ が円周率 $\pi$ で表現できることもつきとめた。しかし、 $s$ が正の奇数のときについては長い間、何もわからなかった。それに対して画期的な結果を得たのが、アペリーだった。1978年のマルセイユの研究集会で発表されたとのこと。それは、「 $\zeta(3)$ は無理数である」という定理だった。オイラー以来何もわかっていなかったのだから、これは驚愕の第一歩と言っていい。アペリーは、この定理を証明するために、上記のアペリー数を利用したのである。本書には、アペリーの証明が解説されている。これはぼくには宝石どころか金塊と言ってもいいものだった。なぜなら、「 $\zeta(3)$ は無理数である」ということは数学者・黒川信重先生のゼータ関数に関する本のいくつもに書かれていたが、「いったいどうやって証明するのか」ということは書かれていなかったからだ。ぼくは本書で、(まだ詳細は理解できていないものの)、その証明のエッセンスを掴むことができた。「なるほど」と膝を打つようなアプローチだった。

さらに著者は、アペリーの定理のその後の展開についても記述している。それは、ボイカーズという人が別証明を与えた、という展開だ。しかもそれは、「コンセビッチ-ザギエの周期」と呼ばれる(積分表示を主役とする)新しい数論のアイテムを用いた証明だという。数論がどんどんと進化している様子を感じ取れる。

この本を読んでいて感じたのは、「著者って、ラマヌジャンみたいな数学者なんだろうな」ということだった。ラマヌジャンは、数の宝石を無数に発見した「数の採掘者」だったと思う。ラマヌジャンの好奇心が、数学者たちに多くのテーマを与えた。黒川信重先生は、「難しい定理を証明する数学者だけではなく、ラマヌジャンのようにすばらしい魅力的な予想をたくさん発見する数学者が数学の進歩には不可欠である」という趣旨のことをあちこちで書いている。この本の著者は、黒川先生が待望する数学者なんじゃないか、と思う。このまま成長して、「日本のラマヌジャン」に育ってほしいものだ。

　いつものように最後に販促をば。フェルマー数やゼータ関数については、拙著『素数ほどステキな数はない』技術評論社に詳しく平易に解説してあるので参考にしてほしい。また、ぼくなりの「数の宝石箱」として、『世界は2乗でできている』ブルーバックスを著したので、是非一読していただきたい。これには平方数の宝物をたくさん詰め込んでいる。