読売新聞で坂井豊貴さんが、拙著を書評してくれました！

　今日(10月14日)の読売新聞の書評欄で、慶応大学の経済学者・坂井豊貴さんが、拙著『宇沢弘文の数学』青土社を書評してくれました！
この本については、当ブログでは、新著刊行と、書店での講演会のこと - hiroyukikojimaの日記とか、『宇沢弘文の数学』について - hiroyukikojimaの日記とかでエントリーしている。
坂井さんの書評は、あまりにすばらしいので、是非とも、多くの人に読んでいただきたい。(ここで読めるはず→『宇沢弘文の数学』 小島寛之著 : ライフ : 読売新聞（YOMIURI ONLINE）)
実際、坂井さんは、ツイッターで、

多作な小島先生の著作のなかでも、ひときわ入魂の一冊。私も私なりに入魂の書評。

と書いています。うん、ほんと、ぼくの入魂の本なんですよ。そして、坂井さんの書評も、偽りなく入魂。ほんとすばらしいです。
名文なので、全文引用したくなるけど、それはルール違反だろうから、一部のみ抜粋。
　最も感心したのは、次のフレーズ

宇沢は終生、社会を支える「資本」に深い関心をもち続けた。それは前期には経済成長を複雑な経路で支えるものとして。後期には、人間の善き生存を支えるものとして。

後期のほうは、要するに「社会的共通資本」のことを言っているんだけど、この表現はあまりに的を射ている。「人間の善き生存を支えるもの」、こんなジャストな表現は、思いつきもしなかった。
あともう一カ所、とても嬉しかったのは、

先日ノーベル経済学賞を受賞したポール・ローマ−の研究は、宇沢モデルを大きな礎とする。

そんなんです、そうなんです。昨日は、経済学者の集まりで酒を飲んでたんだけど、みんなが口々に、「宇沢先生が生きていれば、今年、三人目として受賞したに違いない」って話してた。実際、今年の受賞は、ノードハウスとローマ−。ノードハウスは、環境経済学者として温暖化の問題を研究した人で、ローマ−は内生的経済成長理論を研究した人で、どちらも宇沢先生が先駆者なんだ。だから、だから、生きてさえおられれば。。。
その無念さを、坂井さんも共有しているような感じが、この文面からくみ取れて、嬉しかったとともに泣けてきた。
　坂井さんの書評の良いところは、情に流されず、慎重に言葉をひとつひとつ選んでいるところ。宇沢先生について語る人は、(ぼくが代表例だが)感情に流されて、大げさすぎるものになってしまう。でも、坂井さんは、経済学者の節度として、ぎりぎりの表現を心掛けておられる。そこもまた、「入魂」というに相応しい。でも、ツイッターに坂井さんが書いた、こういう話がめっちゃ坂井さんらしくて好きだ。

私は学部４年生のとき、うっかり宇沢弘文『自動車の社会的費用』（岩波新書）を読んでしまって、自動車の免許をとるのをやめてしまった。取るのがダメというのではなく、宇沢の激情が私にそれを許してくれなかった。こういう本との出会いは「交通事故」のようなものだ。

ぼくも、宇沢さんの影響で自動車免許を持っていない(と吹聴している)が、本当は、適性がなさそうだから取らなかったのもある。
　ちなみに、ぼくも当ブログで、坂井さんの本を紹介したことがある。例えば、古風な経済学の講義から脱出するために - hiroyukikojimaの日記とか、理系の高校生に読んでほしい社会的選択理論 - hiroyukikojimaの日記とかだ。この期に、坂井さんの本を是非、読んでみてほしい。本当にすごい説明能力なんだから。
　

宇沢弘文の数学 [ 小島寛之 ]

『宇沢弘文の数学』について

　先週、9月18日に拙新著『宇沢弘文の数学』青土社が刊行された。
実は、9月18日は、宇沢先生の命日だった。実際、ぼくは４年前に、宇沢弘文先生は、今でも、ぼくにとってのたった一人の「本物の経済学者」 - hiroyukikojimaの日記のエントリーで、この日に宇沢先生が亡くなったことを書いている。この日を刊行日に選んだのは、編集者の粋なはからいだったのだと思う。でも、ぼくは、不覚にも命日を忘れていた。このエントリーに書いているように、ぼくは先生の冥福をいまだに祈っていない。先生はまだ、ちょっと離れて場所にいらして、ぼくを導いてくださっている、そういう感覚が抜けないからだ。
　でも、本書を刊行できたのは、この上なく嬉しい。本書は、追悼の本ではない。あくまで、宇沢先生の理論を世に知らしめるための啓蒙書・研究書なのだ。

宇沢弘文の数学 [ 小島寛之 ]

　さて、本書刊行を記念した講演会が来週に迫ったので、もう一度告知しておきたい。

青土社『宇沢弘文の数学』発売記念　小島寛之先生講演会
【宇沢弘文の思想に迫る】
日時　2018年10月5日（金）19：00〜20：30（開場18：45）
会場　書泉グランデ7階イベントスペース

予約受付　書泉グランデ4階レジ　※9/18（土）10:00〜受付開始
参加方法　9/18頃発売　青土社『宇沢弘文の数学』小島寛之/著　1944円（税込）を書泉グランデ4階にてご購入の方1冊につき1枚参加券をお渡しします。
店頭もしくは、電話、上記お問い合わせボタンより予約も承ります。
イベント名【小島寛之先生講演会】、お名前、電話番号を明記の上お申し込みください。
イベント開始時間までに、書泉グランデ4階レジにて、書籍の購入、参加券をお受け取り後イベント会場へお越し下さい。
青土社『宇沢弘文の数学』発売記念 小島寛之先生講演会【宇沢弘文の思想に迫る】 - 書泉/神保町・秋葉原

　この講演会では、先生の理論ばかりではなく、先生のお人柄や、先生の思い出・エピソードもたっぷりお話しようと思っている。是非とも、足を運んでいただきたい。
　少し、本の内容について説明をしておこう。目次については、前回のエントリー新著刊行と、書店での講演会のこと - hiroyukikojimaの日記を参照してほしい。
本書は、講談社の雑誌『本』に寄稿した原稿の大幅改稿と、青土社の雑誌『現代思想』に寄稿した原稿の大幅改稿と、書き下ろし原稿から成る。書き下ろしは、第３章と第６章。とりわけ、第３章はぼくにとって、非常に大事な論考なのだ。なぜなら、この論考は、「数学は社会的共通資本である」という主張だからだ。
　数学が社会的共通資本である、とはどういうことか。それは、数学というものが、市民の共有財産であり、市民の基本的な生活や、人権や、尊厳に関わるものであるから、社会的に大切に管理・運営されるべきだ、といういうことである。数学に対して、このような見方をしている論説は世の中にはあまりないと思う。
　この論考は、実は、宇沢先生に依頼されて、先生が編纂する論文集に寄稿するべく執筆したものだった。先生は、その論文集に、「社会的共通資本としての医療」「社会的共通資本としての音楽」「社会的共通資本としての数学」の三本の論文を収録するつもりでおられた。最初のは先生自身が、二番目のは外国の女性研究者が、そして三番目のはぼくが寄稿することが予定されていた。先生が、「医療」「音楽」「数学」を社会的共通資本の三本柱とされたのは、非常に興味深いし、先生の心の豊かさを感じさせられる。
　けれども、この論文集は刊行されないまま、先生が他界されてしまった。だから、本書に、ぼくのこの論考を収録できたことは、先生のお導きのように感じられる。これほどに魂を込めて論文を書いたことはかつてなかったからだ。
　人生には、「すごく嬉しいこと」というのが、何回かは訪れる。ぼくにも、何回かあった。例えば、大学に合格したこと、査読付ジャーナルに論文がアクセプトされたこと、初めての本を刊行できたこと、息子が生まれたこと、息子が受験で合格したこと、などなど。
　でも、それらの中で、特別に嬉しかったことが二つある。両方とも宇沢先生に関することだ。
　一つは、宇沢先生から講演会での原稿の代読を依頼されたこと。これは、先生が参加されていた環境問題訴訟運動において、集会で先生が講演をすることになっていたのだが、うっかり渡航してしまい、帰国できなくなったときのことだ。起訴を担当している弁護士から、「それでは、お弟子さんが代読を」と言われ、ぼくに依頼してくださったのである。ぼくは、大学で先生のゼミを受けたわけではないので、本来の意味では「弟子」ではない。でも、この依頼を先生自身が海外からわざわざお電話してくださったとき以降、自分自身を宇沢弘文の弟子と名乗れるようになった。先生自身が弟子と認めてくださったのだから。ぼくは、訴訟運動をしている市民の方々に先生の声明を代読しながら、誇らしさと嬉しさをかみしめたものだった。
　もう一つは、本書の第３章の論文の執筆を依頼されたことだった。ぼくは、それまでも、先生にいろいろと褒めていただいたり、かいかぶられたり、励ましていただいたことがあった。でも、論文を依頼されたのは、このときが初めてだった。経済学者と認められた、ということだ。期待された、ということだ。こんなにも嬉しいことは、生きていて何度もあることではない。ぼくは、躍り上がるやら、涙ぐむやら、本当に大変な気持ちになったのだった。
　でも、先ほど述べたように、論文集は未刊行のままとなってしまった。先生と肩を並べて、論文を刊行する夢は潰えた。その論文を、今回、大幅な改稿の上、先生のお写真がカバーを飾る本に収録することができた。思った形ではなかったけど、先生の期待に応えることができたと思う。

新著刊行と、書店での講演会のこと

　新著が刊行される。大きい書店では、今日あたりから並び、アマゾンには明日入荷予定となっているので、満を持して宣伝をしよう。著作は、『宇沢弘文の数学』青土社だ。

宇沢弘文の数学 [ 小島寛之 ]

初めて、宇沢先生の名を冠した本を刊行することができたので、感無量である。
この本の刊行を記念して、書店イベントとして、講演会が行われるので、まずそっちを告知しよう。

青土社『宇沢弘文の数学』発売記念　小島寛之先生講演会
【宇沢弘文の思想に迫る】
日時　2018年10月5日（金）19：00〜20：30（開場18：45）
会場　書泉グランデ7階イベントスペース

予約受付　書泉グランデ4階レジ　※9/18（土）10:00〜受付開始
参加方法　9/18頃発売　青土社『宇沢弘文の数学』小島寛之/著　1944円（税込）を書泉グランデ4階にてご購入の方1冊につき1枚参加券をお渡しします。
店頭もしくは、電話、上記お問い合わせボタンより予約も承ります。
イベント名【小島寛之先生講演会】、お名前、電話番号を明記の上お申し込みください。
イベント開始時間までに、書泉グランデ4階レジにて、書籍の購入、参加券をお受け取り後イベント会場へお越し下さい。
青土社『宇沢弘文の数学』発売記念 小島寛之先生講演会【宇沢弘文の思想に迫る】 - 書泉/神保町・秋葉原

今回は、１人だけで行う書店講演会なので、間が持つのか少し緊張している。でも、これまでぼくの本を愛読してくださった方々と触れあうことができるのは、とても楽しみだ。
　さて、本書、『宇沢弘文の数学』青土社についてだ。
「宇沢弘文」と「数学」とは、奇異な取り合わせに感じる人も多いだろう。実際、ぼくもそうだ(笑)。宇沢弘文と言えば、経済学者ではないか。その通り。だから、書店のイベントのタイトル「宇沢弘文の思想に迫る」のほうが本書の内容に近い。でも、編集者は、なんらかのインパクトを狙って、「数学」をトッピングしたんだと思う。
　もちろん、このタイトルは詐欺ではない。まず、第三章は「社会的共通資本としての数学」という内容になっている。次に、本書は、宇沢弘文先生の経済学や思想に対して数学的なアプローチをしている。さらには、第４章は統計学についてのサーベイだし、第５章はゲーム理論への批判的展望だ。そういう意味では、「数学」と銘打つのは詐欺とは言えないのだ。
　今回は、最初の販促として、目次を晒すことにする。内容については、刊行後に説明することとしたい。

小島寛之『宇沢弘文の数学』
第１章　　ケインズから宇沢弘文へ
第２章　　宇沢弘文は何を主張したのか
第３章　　社会的共通資本としての数学
第４章　　統計学は世界を変え得るのか？
第５章　　ゲーム理論の原点回帰
第６章　　21世紀の宇沢理論ー小野理論・帰納的ゲーム理論・選好の内生化
あとがき　　かけがえのない回り道

　まずは、書店で手にとってみて欲しい。

松原望先生との、ベイズとAIに関するトークイベント

　前回に少し告知したトークイベントがはっきり決まったので、宣伝したい。
池袋の天狼院書店にて、統計学者の松原望先生の、ベイズ統計学、AI、シンギュラリティについてのトークイベントに、討論相手として登壇する。具体的には、以下

日時　2018年9月16日（日）15:00〜16:30（受付開始 14:30）
場所　天狼院書店「Esola池袋店」STYLE for Biz
講演内容　ベイズ統計学の第一人者・松原望さんと、統計学・数学の魅力を多くの方に伝道する小島寛之さんによる対談。
ベイズ統計学、AI、シンギュラリティについて語っていただきます。研究秘話も聞けるかも？！
　　
参加費：2000円＋『ベイズの誓い――ベイズ統計学はAIの夢を見る』（聖学院大学出版会）
＊別途、書籍『ベイズの誓い――ベイズ統計学はAIの夢を見る』（聖学院大学出版会）のご購入が必要となります。お持ちの方は当日ご持参ください。
　　
9/16（日）【style for Biz】『ベイズの誓い――ベイズ統計学はAIの夢を見る』発刊記念！話題のAI・シンギュラリティについてベイズ統計学の第一人者が語る！《初めての方・お一人での参加大歓迎》 | 天狼院書店

テーマとなっている本は、次の書籍。

ベイズの誓い ベイズ統計学はAIの夢を見る [ 松原　望 ]

　松原先生は、これまでも、たくさんのベイズ統計の本を書いてきたけど、本書には新しいアプローチが多々含まれている。おおざっぱに箇条書きでまとめると、
１　ベイジアン・ネットワークについて解説している。
２　階層ベイズとMCMC(マルコフチェーン・モンテカルロ法)について解説している。
３　AI(人工知能)が、結局、ベイズ推定であることを解説している。
４　AIのシンギュラリティについて、詳しく掘り下げ、独自の見解を繰り広げている。
このように列挙してみると、松原先生の新境地であり、しかもホットな内容の本と言えるだろう。
　なぜぼくが討論相手か、というと、大学院時代に松原先生にベイズ統計を師事したからである。その辺の詳しい事情は、統計学の面白さはどこにあるか - hiroyukikojimaの日記で読んで欲しいが、松原先生の講義は、ぼくの学問生活に決定的な影響を与えることとなった。その後のぼくは、確率や統計の本を何冊も書くことになり、また、経済学での専門もベイジアン意思決定理論となった。まさに運命的な出会いだった。
　ベイジアン理論の面白さは、その「怪しさ」にある。これが批判的な言葉に聞こえるなら、「妖しさ」と言い換えてもいい。確率理論でありながら、非常に人間臭く心理的である。にもかかわらず、論理的であり、操作性に富んでいる。なにより、テクノロジーとして、広汎な応用可能性を秘めている。そういうところが、ベイジアン理論の魅力なのである。
ぼくがどのくらい、松原師匠のお話をサポートできるかは心許ないが、とにかく、ベイズ統計を日本に広めてきた松原先生のお話は、きっとエクサイティングなものになることは間違いない。
　是非、ご来場いただきたい。
　ついでに、もう一つだけ宣伝をさせていただきたい。
以前に、諦めなければ夢はかなう。望んだ形ではないかもしれないけど。 - hiroyukikojimaの日記というエントリーで、ぼくのゼミ生だった女の子がプロのミュージシャンとしてCDデビューしたことを書いた。卯月沙羅さん、という人だ。このたび、彼女が、きちんとしてMVを作ってアップロードしたので、宣伝したい。youtubeの以下だ。
https://www.youtube.com/watch?v=kMplPjm-_lk
いつもはピアノの弾き語りなんだけど、今回はバンド形式になっている。なかなか良い曲だし、MVもとても綺麗に撮れているので、是非とも観てあげて欲しい。彼女も、夢に向かって、一歩一歩着実に歩みを進めてる。ぼくも負けてはいられない。

受験数学から何が学べるか

　今週、茨城県の数学の先生方の研修の講師を務めてきた。二ヶ月ほど前に、栃木県でも同じく数学の先生方の研修の講師を務めたので、研修でのレクチャーは二度目だ。
　さらにいうなら、今年は、(こちらは経済学者として)、土木学会のシンポジウムと阪大経済研究所のシンポジウムにも登壇したんで、４回も人前で話してしまった。
　ダメ推しでいうなら、９月および１０月に、書店でのトークイベントが計画されておって、両方成立したとすると、年６回のイベント登場となってしまう。(トークイベントについては、詳細が決まったら、このブログで告知するね)。
　さて、茨城県での研修のお題は何か、というと、「良質な1問を作成する上でのヒント」というもの。要するに、問題作成のコツを伝授する、ということだった。
　お題をいただいて、少々困った。
なぜなら、ここ20年のほど経済学者を本業としており、数学の書籍は書いているけど、受験数学とは縁遠くなっていたからだ。
思案の末、昔取った杵柄を有効利用することにした。ぼくは、20代、30代は、塾で中高生を教え、河合塾で浪人生を教えていた。そして、塾・予備校での講義を題材にして、雑誌『大学への数学』で連載を持っていた。そこで、この『大学への数学』の連載を元に、今回のレクチャーを構成することにしたのだ。なんと、ちょうど30年前、1988年の連載だから、あまりに時間が経ったものだ。
　この連載は、「ハイレベル・ゼミ」というタイトルのもので、受験数学の問題や、数学オリンピックの問題を題材にして、大学の数学や専門の数学を語る、というプロットだった。
　当時のバックナンバーを掘り起こしてみたら、我ながらなかなか良い連載だったなあ、と感慨深かった(笑)。当時の自分の受験数学の知識と専門数学の知識を総動員して、受験生たちに、数学の魅力をアピールしようと一生懸命に書いたものだった。
　当時、誰にコピーさせてもらったのか忘れたが、「東工大の四半世紀」という冊子を持っていた。東工大の25年分の全問題が集められた冊子だった。ぼくは、それらの問題を相当量解き、中に、高級なバックボーンや高尚なテーマをもっているものがたくさんあることを知って、それを連載に利用したのだった。(当時は、東大の問題より東工大の問題のほうが、奥が深いという印象を持った)。
　たとえば、次の問題は本当に秀逸だ。(数式をこのブログに表示する技を知らないので、本質を変えないように問題文を変更している)。

(東工大1981)
0<α<1なる数αがある。αの小数部分は0.5未満、2倍すると小数部分は0.5より大になり、さらに2倍すると小数部分は0.5より小さくなり、もう一度2倍すると小数部分は0.5より大きくなる。このことがずっと繰り返されるとするとき、αを求めよ。

この問題は、与えられた条件を数列を使って表現し、挟みうち原理を使えば、数３の範囲で答えを求めることができる。でも、出題者の意図はたぶんそうではない。出題者は、「２進法で考えなさい」というテーマを与えているのだと思う。記数法というのは、高校で教わるけど、何のためにやってるのかいまいちわからない。もちろん、コンピューターは2進法ですよ、とかいうことがあるけど、「だからナニ？」ということになる。でも、この問題が与えているのは、「記数法というのは、基底の意味を持っているよ」ということ。基底変換をすると物事の見通しがよくなることは、数学ではよく経験することだ。この問題も、10進法から2進法に基底変換すると、突然視界が開けて、たちどころに問題が解けてしまうのである。
　もう１問、東工大のふる〜い問題を紹介しよう。

(東工大1965)
0

これも、単純に積分計算をしても、普通に証明できる。でも、ぼくは出題者の意図を懸命に考えて、次のような発想で作られてんじゃないか、という結論にたどり着いた。y=sin(x+h)のグラフはy=sinxのグラフを左にhだけずらしたものだ。だから、二つのグラフはだいたいのパートで横向きにはhの隔たりに持っている。それがこの不等式の源泉じゃないのか、という発想だ。それでぼくは、この問題は、高校数学の常識通りに縦方向の微小長方形を集計するのではなく、横方向のそれを集計するのではないか、という考えにたどり着いた。その見方を利用すると、何の計算もなしに不等式が証明できることに気がついたのだ。つまり、出題者の示唆するテーマは、「面積計算は縦向きでも横向きでもできるよね」というものだったのだ。
　茨城県の数学研修で紹介した問題で、東工大でないものも紹介しよう。
次の問題は、河合塾の模試で出題されたものだ。

次の性質を満たす関数の集合をSとする。
(i)　Sに属する関数は3次関数(3次の係数が0でない)である。
(ii)　Sに属する関数は、任意の2次以下の関数をかけて−1から+1の範囲で積分すると必ず0になる。
このとき、Sに属する関数は、ある1つの奇関数の定数倍であることを証明せよ。

もちろん、一般的に３次関数を置いて、(i)(ii)からその係数の満たす関係式を求めれば、簡単に解ける。でも、出題者の意図は全く違うもので、ほとんど計算を要しないみごとな解き方があるのだ。それもそのはず、この問題を作成したのは、当時河合塾の顧問をしていた著名な数学者(微分方程式が専門)だった。だから、問題には専門性が背景にあったのだ。ざっくり言えば、３次以下の関数の集合は４次元ベクトル空間で、2次以下の関数の集合はその3次元部分空間にあたる。そして、関数の積の積分は、内積と解釈することができる。そうした解釈の下では、(i)(ii)を満たす関数の集合Sは、1次元ベクトル空間になることは容易に想像できる。そういうことを受験生に伝えたい問題なのである。もちろん、そんな高度な解き方は模範解答ではないけど、ほぼそういうことを高校数学の範囲で表現するような解き方だった。著名な数学者が問題を作ると、たとえ、予備校の模試であっても、ステキなものを生み出すんだな、と感心した次第。
　最後に、もう一題だけ、うならされた問題を紹介して終えよう。次のような問題だ(出題の大学は失念してしまった)。

aを正の定数とし、eをオイラー定数とする。aを初項として、aeを末項とする(n+1)項の等比数列を{x_k}とするとき、
{(x_k−x_(k−1))log(x_k/a)}の総和をn→∞としたときの極限を求めよ。

もちろん、この問題も、等比数列を具体的に求め、定跡的な方法で数列の和を求め、普通に極限を計算しても、(多少、しんどいけど)、答えは出せる。でも、出題者の目論みは全く違うところにあると思うのだ。出題者はたぶん、リーマン積分をイメージしているんだと思う。高校数学では、区分求積は、区間を等分して行う。だから、この総和は、等比数列の差を掛けているので、高校数学の意味では積分計算には見えない。でも、大学で習うリーマン積分では、各細分が0に近づいていくようにするなら、区間をどんな風に区分してもいいのだ。したがって、a≦x≦aeなる区間を等比数列で区分しても、積分は可能となる。したがって、この問題は、単に関数log(x/a)を積分する問題なのである。そういう風に計算すれば、ほとんど苦痛なく、答えを出すことができる。これも、大学の数学者からのステキなプレゼントだと、当時のぼくは喜んだのだった。
　大学受験の数学の問題の中は、このように、数学者からの夢あるギフト、とみなせるものが多々ある。高校の先生方も、そういう風に受験問題を利用すれば、(少なくともやる気のある高校生には)、優れた感受性と向上心を培うことができるんじゃないか、そう思う。茨城県の研修では、先生方に、(僭越ながらも)、そういうことを訴えたのであった。

会話型数学書の成功例

　今回は、小山信也さんの数学書『リーマン教授にインタビューする』青土社を紹介しよう。

リーマン教授にインタビューする ゼータの起源から深リーマン予想まで [ 小山信也 ]

この本は、高度な数学啓蒙書であり、かつ、近現代の数学史の書であり、かつ、数学思想の指南の書でもある。この本の良い点は、次の三点に尽きる。
1.　会話型で書かれた数学書として、出色の出来となっている。
2．ゼータ関数をとりまく数論のみごとな総覧的紹介となっている。
3. 数学の思想的な発展がどのような動機と経緯で成されるかが、よくわかる。
以下、もう少し詳しく説明しよう。
　実は、ぼくは、会話型の数学啓蒙書や受験参考書のほとんどを評価していない。会話文は簡単、と多くの数学者・数学教育者が思っているふしがあるが、それは単なる錯覚だと思う。会話文で最も大事なのは、「キャラクターの分離」だ。会話の登場人物は、人格も知識も性格も異なっていなければ意味がない。しかし、多くの会話型の啓蒙書・参考書では、どの登場人物も著者そのものであり、自分の独白を切り分けて提示しているにすぎない。全く書き分けがなされていない。これでは、読者は普通の文章を読むより苦痛を強いられる。本当は一つの流れを持った文章をぶつ切り状態で読まされるからだ。
　会話を書くのは、特殊な訓練とスキルが必要だ。だからこそ、シナリオ作家や劇作家という職業が成立するのである。シナリオは、通常の説明文とも、そして小説とも異なる技法で作られる。
そういう点から見て、本書は、出色の出来となっている。
本書は、19世紀の数学者リーマンに、著者の小山さんがインタビューする形式で書かれているが、みごとに「分離性」が成し遂げられている。この成功は、ぼくの憶測ではあるが、構成を黒川陽子さんという劇作家の方が行っているからではないかと思う。ちなみに黒川陽子さんは、数学者の黒川信重さんのお嬢さんであり、かつ、プロの劇作家だ。劇作家協会新人賞を受賞している優れたシナリオ作家さんなのである。そういうプロが会話を構成しているので、「キャラクターの分離」が実現しているのだと思う。数学の内容がわからなくても、「数学演劇」として読むだけで、十分に楽しむことができるだろう。
　次に本書では、会話型で書かれているため、通常の数学書とは全く異なる知識供給が可能になっている。インタビューや講演会を文章で読むのに近い感覚を得ることができる。しかも、リーマンという天才数学者のインタビューである。(もちろん、フィクションだけどね)。
　さすが、小山信也さん。リーマンの発言は、当時の数学史に忠実だ。だから、19世紀末の数論の歴史を子細に知ることができる。また、リーマンの理解を通して、その後の、20世紀・21世紀の数論の展開が開示されるので、「リーマンなら、どう感じるのだろう」というところが、(フィクションではあるものの)、瑞々しく伝わってくる。そういう意味で、異色の数学書だ。
　最後に、素数とゼータ関数についての数論の本として、本書にどんな貢献があるかを書きとめておこう。
ほとんどの数学書は、定義と定理を紹介しようとするため、定理たちの論理的な連関は提示されるけど、思想的な連関は与えられない。思想的連関とは、「数学の新しい道具が、以前の道具からどのような連関性の下で生み出されているか」という意味で使っている。本書では、その思想的連関が具に語られているのだ。
数学者が新しいアイテムを生み出すとき、基本的には、これまであったアイテムとの「類似物」を創案するのだろう。でも、一度創造がうまくいってしまう(証明に成功する)と、そういう「何を妄想してやったか」はないがしろにされてしまう。「証明されて正しいこと」が優先されるからだ。
でも、数学をファンとして楽しむ(ぼくのような)人々は、「どうして、そんなこと考えたの？」ということを知りたい。「何と何はどういう風につながっているか」ということをわかりたい。そして、厳密な証明なんて、ある意味どうでもいい。別に数学で飯を食うわけではないからだ。
本書は、リーマンとの対談という形式のため、そのような「類似物の構成」ということが赤裸々に説明されていて、すばらしい。
例えば、次のような歴史的経緯が説明される。
[ガウスの平方剰余相互法則]→[アルティンの一般相互法則]→[イデール類群]→[アルティンL関数のヘッケL関数による表示]→[保型形式のL関数]→[ラングランズ予想]→[フェルマーの最終定理の解決]
しかも、これらの道筋は、ヒルベルトの提示した第９問題と第12問題の統合である、という新鮮なことも説明されている(少なくとも、ぼくは知らなかった)。このように語られると、数学者の問題意識、つまり、一般化アプローチがどんなものであるかを実感でき、それが歴史的難問「フェルマーの最終定理」の解決に結びついた、という感激を得ることができる。
もう一つ例を挙げるなら、「素数概念の一般化」という観点だ。
ゼータ関数は本当にたくさんの種類があるのだけど、基本的に「素数の類似物」が関与する。大元のリーマン・ゼータ関数は、オイラー積と呼ばれる全素数の積形式で表されるのだが、他の多くのゼータ関数も、素数の代替物を使って構成されるのである。それが本書で、うまく端的に説明されていて、「そういうことなのか」と腑に落ちる。おおざっぱに挙げると、
リーマン・ゼータ関数→全素数によるオイラー積で構成
環Aのゼータ関数→環Aの極大イデアルによるオイラー積で構成→環Aを整数環にすれば極大イデアルは素数と対応
代数多様体(方程式のグラフ)のゼータ関数→座標環の極大イデアルによるオイラー積で構成→代数多様体の点が座標環の素イデアルに対応
リーマン面Mのセルバーグ・ゼータ関数→リーマン面Mの素測地線のオイラー積→リーマン面Mの素測地線は素数の代替物
という感じ。これらによって、素数の代替物を見つければ、ゼータ関数を作り出せることが直感できる。そればかりではなく、セルバーグ・ゼータ関数ではリーマン予想が証明できるので、セルバーグ・ゼータ関数がリーマン・ゼータ関数となる多様体Mを発見すればリーマン予想が解決できるだろう、という戦略(夢)も提示されていて、ぐっとくる。
　本書は、まともにすべてを理解しようとすると、障壁が高い。しかし、会話型の啓蒙書なのだから、そもそもそんな読み方をすべきではない。あくまで本書は、19世紀の数学者と21世紀の数学者の(仮想)対談として、ふむふむと頷きながら読むのがよい。そうすれば、壮大な数学の世界を垣間見ることができる。
本書でゼータ関数に興味を持って、詳しく知りたくなった人は、黒川信重さんの著作(例えば、オイラーはやっぱりとんでもなくスゴイとわかる本 - hiroyukikojimaの日記とか数学の青写真をステキに語った本 - hiroyukikojimaの日記とかもはや思想書と呼ぶべき数学書 - hiroyukikojimaの日記とか)や、小山信也さんの著作(例えば、将棋の実況解説のような数学書 - hiroyukikojimaの日記とか)を読んだらいいのだが、これらに直接アタックするのは苦しいと思うので、その前にぼくの著作『世界は素数でできてる』角川新書を読んでおくと良いだろう(笑)。

世界は素数でできている【電子書籍】[ 小島　寛之 ]

オイラーはやっぱりとんでもなくスゴイとわかる本

　今回は、黒川信重さんの新作を紹介しよう。『オイラーとリーマンのゼータ関数』日本評論社だ。「ゼータの現在」というシリーズ本の２冊目の本だ。

オイラーとリーマンのゼータ関数 （ゼータの現在） [ 黒川信重 ]

この本はゼータ関数についての解説書で、もちろん数学書としてはけっこう高度な内容だ。しかし、読み方を工夫する、つまり、注目する視点を変えると、非常に面白く、かつ、深い感慨が得られる本なのだ。視点は、少なくとも次の二点がある。
(１)　オイラーのゼータ関数に関する業績を、オイラーの年齢順に並べてある点
(２)　最新の数論の方法論である絶対ゼータ関数(F1理論)をオイラーが既に議論していたことを明らかにしている点
どちらにも共通しているのは、オイラーはやっぱりとんでもなくスゴイ、ってことだ。ちなみに、ぼくがこのところずっとはまっているアニメ「化物語」シリーズ(例えば、確率・統計は、マーケティングに使えるらしいぞ - hiroyukikojimaの日記にエントリーしている)には、老倉育(おいくらそだち)という少女キャラが出てくるが、このキャラは数学好きが特徴で、明らかにオイラーを彷彿とさせるのである。オイラーはアニメで少女に憑依するぐらいスゴイのだ(笑)。まあ、本書を読む前に、老倉育ファンのぼくが書いたゼータ関数と素数の入門書『世界は素数でできている』角川新書を読んでおくことを強くお勧めする。
　視点(１)で書かれた本は、あるようであんまりないんじゃないかと思う。年齢順に、オイラーの発見を見ていくと、オイラーの天才ぶりが浮き立つ。まず、26歳で、オイラー定数と呼ばれるγ=0.577･･･を発見している。これは、1の逆数、2の逆数、･･･、nの逆数の和から、log nを引いた値のnを無限大に飛ばしたときの極限だ。さらに、γをゼータ関数の値の級数で表すことも証明している。オイラー数がゼータ関数で表現できること、そして、それを若いオイラーが発見していたことは全く知らなかったので、これには思わずうなってしまった。
次に、28歳のときに、例の平方数の逆数和であるζ(2)の値が、(円周率の2乗)/6であることを求めている。さらに、正の偶数のときのゼータの値、ζ(4)、ζ(6)、ζ(8)、･･･も求めている。すべて円周率が現れる。
さらに、30歳のとき、ゼータ関数に関するオイラー積を発見している。これは、ゼータ関数の値が全素数で表現できる、という公式だ。その上で、素数の逆数和が無限大であることも証明している。
そして、32歳と42歳のときに、関数等式を見つけている。関数等式とは、ゼータ関数の値が1/2に関してある種の対称性を持っている、ということを示す公式である。
次なる年齢は、61歳まで20年ほどジャンプする。この年のオイラーは、ゼータ関数を積分で表示する式を発見している。リーマンはこの式を土台にして、解析接続という方法を開発した。解析接続とは、(sの実部)>1でしか通常の意味では収束しないゼータ関数を全複素数に拡張する重要な方法論だ。
この次は、65歳である。ここでオイラーは、s=3におけるゼータの値ζ(3)を表現する式を求めている。ζ(2)を求めてから、この値にアプローチするまで37年の経過しているのは感慨深い。ζ(3)を表現する式は非常に面白い式(log(sinx)なんて出て来る)なので、是非とも本書で鑑賞してみてほしい。
そのあと、3年後の68歳で、オイラーは、交代和形式のゼータ関数(L関数)を研究している。
このように時系列(年齢系列)で見ると、オイラーが、非常に執念深く、繰り返しゼータ関数にアタックしていることがわかり感動する。そればかりではなく、70歳近くなったオイラーがまだ精力的にゼータ関数に挑んでいる姿には勇気がもらえる。ぼくも今年、還暦を迎えるが、まだまだ研究にアタックすべきなんだ、と気持ちを新たにした。
　しかし、本書の真の驚きは、(２)の点だ。
本書では、黒川さんがリーマン予想を解決するために提案した絶対ゼータ関数(F1理論)を第２章で概説し、引き続く第３章で、オイラーが既にこの絶対ゼータ関数を研究していた、という驚異的な事実を打ち出している。
絶対ゼータ関数をここで詳しく述べるのはぼくの能力を超えるので、本書を読んでほしい。あるいは、ぼくと黒川さんの共著『21世紀の新しい数学』技術評論社を先に読むと良いだろう。この共著は、基本的に対談本なので、他の解説書よりは読みやすいと思う。
本書によれば、絶対ゼータ関数は絶対保型形式から定義する、という方向が定着したそうだ。絶対保型形式f(x)とは、xを1/xに置き換えたf(1/x)がほとんど元と変わらないような関数をいう。このf(x)を使ってある種の積分操作を行って関数Z_f(w, s)を作り、これをwで偏微分してexpすると、絶対ゼータ関数ζ_f(s)が得られるそうである。さらに、コンヌとコンサニは、この絶対ゼータ関数が、もっと簡単な積分計算で得られることを示している。f(x)をlogxで割って、xのべき乗を書けて積分し、expする計算である。実はこの計算をオイラーは既に見つけていた、というのだ。
　オイラーは、67歳〜69歳にいくつかの論文を書き、絶対ゼータ関数に肉薄している。オイラーが67歳に発見した積分結果は、先ほどのコンヌとコンサニの絶対ゼータ関数に含まれるものなのである。さらに、68歳で証明した結果はとても面白い。最初のほうで説明したオイラー定数γの積分表示を手に入れている。1/(1−x)と1/logxの和を0から1まで積分するとγになる、というのである。この証明での計算を黒川さんは「絶対ゼータ関数の計算である」と断言している。黒川さんがこの見方を提示するまでは、誰もが「単なる定積分の計算」と眺めていた、と黒川さんは言う。この発見を黒川さんが研究集会で述べたとき、コンヌも、カルティエも、ラフォルグもみんなが驚いた、とのことだ。
　このように、本書は、いくつもの驚きと感動をもらえる本になっている。数学を理解する力がそんなになくとも、数式を見るのが鬱陶しくても、この本は飛ばし飛ばし読んでいくだけで、わくわくしてきて、どきどきしてきて、興奮できること請け合いだ。

21世紀の新しい数学 絶対数学、リーマン予想、そしてこれからの数学　対談 （知の扉シリーズ） [ 黒川信重 ]

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