酔いどれ日記1

これから、なんか、ブログっぽいことを書こうかな、と急に思い立った。

現在、リースリングの白ワインを3杯と、ペルノ－を2杯目。

飲みながら、チケットを購入した「TK from　凛として時雨」の配信ライブを鑑賞してた。ものすごい出来のライブだった。ゲスの極み乙女のちゃんまりがピアノとサイド・ボーカルでサポートに入ってる。すばらしい。

今日は、高校の同級生Hのことと当時好きだった女子の思い出を書こうと思う。

　高校の同級生だったHは不良っぽい男だった。

ぼくが通った都立高校は、(当時の都立高の)学区の中で一番偏差値の高いところだったけど、まあ、学区が下町だったんで、不良っぽいやつもけっこういた。不良でもそこそこ頭がいいというか、頭がいいけどそこそこ不良というか、そんな感じ。Hはそんな一人だった。バイクに乗るのが趣味だった。

ぼくは中学のとき、同級生の女の子に恋をしていた。別々の高校に進んでもまだ好きだったので、かれこれ6年弱は恋していたんだと思う。彼女は(当時の基準で)美人で、しかも才女だった。絵にも音楽にも才能があった。成績も良かった。学年の3分の2の男子が彼女を好きで、誕生日には処理しきれないほどのプレゼントをもらったみたいだった。ぼくもそんな3分の2の中の名も無い一人だった。ちなみに、彼女はぼくの著作『無限を読みとく数学入門』角川ソフィア文庫に収めた小説中で、Nというキャラクターで登場してる。

彼女は政治的な指向があり、高校生のくせに政治集会なんかに参加していた。ぼくも彼女に誘われて、何回かそういう政治集会に行ったものだった。政治とか革命とかに興味はないけど、彼女とつながっていたい一心だったんだ。

そんなある日、もう覚えていないが、何かの用で、ぼくの高校のそばで彼女と会うことになった。デートというのでは(まったく)なく、本当に何かの用事だったんだと思う。

それで、ぼくの高校のそばの喫茶店で彼女と会ったんだ。

彼女と向かい合って話していると、ちょっと向こうの席に、クラスメイトのHがいることにふいに気がついた。Hはぼくに気がついていた。ぼくらのほうを見ながら、ニタニタしていた。ぼくは、直感的に、「やばいことになった」と悟った。こんなところを目撃されたら、Hが明日学校で何を言いふらすかわかりやしない。もうぼくは、心ここにあらず、という状態だった。

でもHは、翌日、何も言ってこなかった。クラスでも言いふらしたり、しなかった。ぼくは肩すかしを食らったと同時に、Hのことを理解し直さなければならないな、と感じた。でも、そんなチャンスは訪れなかった。

なぜなら、それからほどない頃に、Hが亡くなったからだ。

Hはバイク事故で唐突にいなくなってしまった。道路わきの電柱に激突して亡くなったのだそうだった。担任の教師は、心痛な面持ちで、「とにかく、バイクには乗るな」とみんなを諭した。その担任に個人的に聞いたところでは、Hの事故現場には、自動車に幅寄せされた痕跡があったとのこと。しかし、証拠ははっきりせず、犯人らしきものも不明だということだった。

その後、ぼくは、あの日のHのニタニタ笑いが頭から離れなくなった。記憶の中では、ぼくと女の子Nを眺めながら、Hはずっと笑っている。Hのあの笑みは何だったのだろう。Hはぼくのことをどう思ったのだろう。その謎かけは今でもぼくの中に螺旋を描いている。

無限を読みとく数学入門　世界と「私」をつなぐ数の物語 (角川ソフィア文庫)

お酒にまつわる推理もの

また、間があいてしまった。オンライン講義に手間がかかってるだけでなく、非常勤(オンラインだけど)もやっているので、余裕がないのだ。とは言っても、Netflixで「イカゲーム」を一気観したりはしている。笑。これはめっちゃおもろいドラマだった。

本当は、

たくさんのインスパイアをもらえる熱力学の教科書 - hiroyukikojima’s blog

で紹介した、田崎さんの熱力学の教科書についてきちんとした紹介をしたいのだけど、時間と心の余裕が必要なので、また今度ね、ということにする。

　そんなわけで今日は、「お酒にまつわる推理もの」について雑談をしようと思う。(いつも雑談だけどね)。その前に音楽について、ちょっとだけ語る。

　このところ、ZTMY(ずっと真夜中でいいのに)ばかり聴いている。とりわけ、ライブ・ブルーレイ「温れ落ち度」の2枚を繰り返し観ている。何度観ても飽きがこない。ZTMYのリーダーACAねさんは、(前にも書いたけど)、「フランク・ザッパの再来」「日本のザッパ」「21世紀のザッパ」だと思うんだよね。2人の共通点を箇条書きすれば、

1. 楽曲が非常に複雑ながらそれでいてキャッチー。

2. 1曲の中に複数の曲が詰まっている構成。

3. あらゆるジャンルの音楽を取り入れてる。

4. 非常に多くの楽器を導入した編成(ZTMYでは奇妙な楽器が多く使われる)。

5. サポートメンバーが超絶技巧集団。

なんかがあげられる。違いと言えば、ACAねさんの歌詞はわけわかんない詩句だけど、ザッパのような猥歌ではなく、政治的でもないことかな。フランク・ザッパが93年に他界してから、もうこういう音楽は二度と聴けないのだろうと諦めていたけど、まさか日本の若い女の子が、新しい装いでザッパ的な音楽をやるとは想像してもいなかった(本人はこう言われると怒るかもしれんが)。長生きするといいことがある。

　さて、本題、「お酒にまつわる推理もの」に移ろう。ひとつずつ作品を紹介するけど、推理もの(ミステリー)なので、どうやったってある程度のネタバレになるので、読む人の自己責任ということで。

　1.  刑事コロンボ「別れのワイン」

これはぼくの知っている限り、ワインを扱ったミステリーでは最高の作品だと思う。犯人はワイン製造会社の取締役で、低レベルなワイン製造会社に自社を売り渡そうとする弟を殺してしまう。動機は、自分の会社のワインを誇りに思っていること。犯人は類い希なる味覚を持っており、ワインをこよなく愛している。そして、その味覚とワインへの愛が災いして、コロンボの罠にはまることになる。原題は、「ANY OLD PORT IN A STORM」で、こっちのタイトルのほうが抜群に良い。 なぜなら、最終的にポートワインが大事な役割を果たすから。ダブルミーニングでしゃれているのだ。ぼくは昔、この作品を録画したい一心で、やっと普及し始めたビデオデッキを買ったものだった。

　2.　刑事コロンボ「策謀の結末」

この犯人は、アイルランドからの移民で吟遊詩人。しかし、アイルランドのテロリストに武器を密輸出している。この犯人は、裏切りものの武器商人を抹殺してしまう。犯人はアリッシュ・ウイスキーを常飲し、しゃれた言葉遊びとユーモアを得意とする。コロンボは、彼の著作や来歴から犯人は彼だと確信し、追い詰めていく。この作品は、たぶん、ぼくの中でコロンボ作品のベスト3に入る。コロンボが犯人と意気投合しながらも、犯人のテロリスト的性向には共感しないのが胸をうつ。そして、アイリッシュ・ウイスキーが何重にもトリックになっているのがあまりにみごとである。コロンボ屈指の作品と言っていい。

　3. 刑事コロンボ「祝砲の晩歌」

犯人は時代遅れの士官学校の校長。学校を共学に変えようとする経営者を殺害する。殺害の方法がまたすごい。祝砲の空砲を実弾と取り替え、雑巾を砲先に詰めておいて爆発させ、事故に見せかける。この作品の妙は、コロンボが生徒たちと一緒に合宿生活をしながら、生徒たちの証言をもとにして、真相に迫っていくこと。最終的には、生徒たちが密造しているリンゴ酒が犯人逮捕の鍵になる。犯人の軍人気質こそがぼろを出すポイントになる皮肉がまた切ないのである。

　4. ディック・フランシス『証拠』

フランシスの競馬シリーズの中の一冊で傑作。主人公は、競馬場でワインを売っているワイン酒屋。世捨て人のようにひっそりと生きている。けれども彼は、幼少の頃から優れた味覚を獲得しており、利き酒の天才でもある。主人公はひょんなことから、偽酒に絡む殺人事件に巻き込まれる。彼はスコッチウイスキーに混じるかすかな異物から、事件の真相に迫っていく。この作品には心底感動した。ハードボイルドタッチで、息つかせぬ展開。本当にみごとな小説だと思う。村上春樹っぽい作品。

　5. 勝鹿北星・浦沢直樹『マスターキートン』「シャトーラジョンシュ1944」

これはマンガで、厳密な意味ではミステリーではないが、推理的要素もあるので抜擢することにした。ドイツ軍に占領されていたラジョンシュの1944年が奇跡のブドウの年となった。そこでドイツ兵の攻撃の中、子供だった主人と使用人がドイツ兵の銃剣の刃をかいくぐって、命がけでブドウをつんで作ったビンテージワイン、シャトーラジョンシュ1944をめぐる物語。切なく胸をうつ小品だ。マスターキートンには傑作が多いが、これも屈指の一作。

　6. 相棒「殺人ワインセラー」

相棒シリーズがワインを扱った作品。これは、コロンボ「別れのワイン」へのオマージュだと思ってる。佐野史郎さんが犯人を演じていて、それがあまりに名演技である。ワイン評論家やワイン通を皮肉っているのも相棒らしい。相棒には、お酒にまつわる作品が他にもいろいろあるが、これだけにしておく。

　7. Dr.House「命の重み」

ドクター・ハウスはアメリカの医療ミステリードラマで、本当に傑作揃いだ。この作品は、死刑執行が数日に迫った死刑囚が自殺をはかって危篤になるが、その動機も方法もわからない。ハウスはちょっとしたきっかけから自殺の手段を突き止める。秀逸なのは、ハウスがベッドで死にかけている死刑囚と、スコッチウィスキーを一気競争するシーン。最初、何をやっているかと思うけど、その真意を知ると驚愕する。この作品は、黒人問題と死刑制度に問題提起をしており、非常にディープな作品である。ハウスシリーズ屈指の一作と言っていい。観終わると、胸にジーンと迫るものがある。

シン・リーマン予想

今回も、基本的には、ぼくの新著『素数ほどステキな数はない』技術評論社の販促のエントリーなんだけど、「深リーマン予想とラマヌジャン」にまつわる話を紹介しようと思う。「深リーマン予想」は、数学者の黒川信重さんの命名らしいけど、ぼくは庵野秀明監督にあやかって、「シン・リーマン予想」と改名したいと思う。笑

庵野監督は、最近、「シン・ゴジラ」「シン・エヴァンゲリオン」「シン・ウルトラマン」と「シン」を連発しているんだけど、ご本人によれば、「シン」の解釈は「新」でも「真」でも「神」でもなんでもいいとのこと。だからもちろん、「深」でも良いはず。そこで「深リーマン予想」も「シン・リーマン予想」と呼ぶ。

素数ほどステキな数はない 　～素数定理のからくりからゼータ関数まで～ 知の扉

　「シン・リーマン予想」とは、リーマン予想よりも強い予想のこと。つまり、「シン・リーマン予想」が証明されれば、自動的にリーマン予想が証明される。リーマン予想というのは、リーマン・ゼータ関数

に関する予想だ。この右辺は、(の実部)>1に対しては収束するが、(の実部)≦1では発散するので、それらのに対しては「解析接続」という方法で値を決める。(解析接続は簡単に説明するのが困難なので、是非、拙著を読んで理解して欲しい。笑)。このゼータ関数についての、となるで、虚部が0でないもの()、すなわち、「虚の零点」について、「その実部がみんな1/2である」、という予想がリーマン予想だ。言い換えると、虚の零点が虚軸に平行な直線上に並んでいる、ということ。リーマンが予想を提出してから、150年以上経過した今も解かれていない超難問である(ミレニアム問題なので、解けば1億円もらえる)。

実は、ゼータ関数の親戚にL関数というのがある。それは、

というものだ(全奇数にわたり、±は交互)。ディリクレが研究したので「ディリクレ級数」と呼ぶが、オイラーも研究していたそうな。もっと一般には、

ここでは、ディリクレ指標と呼ばれるもので、整数から複素数へのmod. Nでの積を保存する写像だ。(詳しくは、拙新著を参照のこと)。このL関数にもリーマン予想と同じ帰結(虚の零点の実部はみな1/2)が予想されており、それを「L関数のリーマン予想」と言う。

これらのリーマン予想を攻略する新しい道筋として、2010年頃から研究されだしたのが「深リーマン予想(Deep Riemann Hypothesis;DRH)」なのだ。そして、この研究が進行する中で、すごいことがわかった。それは、ラマヌジャンがこのDRHの一部と思しき結果を1915年にすでに導出していた、ということだ。おそるべき数学者ラマヌジャン。

ちなみに、拙著『素数ほどステキな数はない』では、ベルトラン予想「任意の自然数に対して、より大きく以下の素数が存在する」に対するラマヌジャンのあまりにみごとな証明を完全収録しているので、是非、読んでラマヌジャンのファンになってほしい(しつこい)。

　前回のエントリー

ぼくの新著で「素数名人」まで昇りつめてください。 - hiroyukikojima’s blog

では、ラマヌジャンの人生を描いた映画「奇跡がくれた数式」の紹介をした。そこでぼくは、「ラマヌジャンをイギリスに招聘したハーディをちょっと美化しすぎている」というようなことを述べたのだけど、黒川信重さんの『ラマヌジャン　ζの衝撃』現代数学社を読み直したら、これについてすごいことが書いてあったので、まずは、それを引用しよう。

ハーディとリトルウッドにとっては、ラマヌジャンがイギリスに来た1914年からラマヌジャンの書いたノートなどの数式は自分達の身の回りにあふれていて日常見慣れた風景になっていて、自分達のものと区別がつかなくなっていたようです。前にも触れましたが、ラマヌジャンが書いた式に間違いを発見すれば、ハーディとリトルウッドの２人だけで間違いを直し、２人だけの論文として盗んで発表するということもやっていました。

　つまり、ラマヌジャンのアイデアをどんどん吸収し、換骨奪胎して数学を作り上げて行くというのがハーディとリトルウッドの方針でした。数学界を引っ張っていくリーダーたちがこれでは20世紀の数学者たちが見習ってひどい状態となっているのは無理ないことなのかもしれません。21世紀に数学をはじめた君たちは、こんなまねをしないでください。

前回にもこの本からのハーディについての引用をしたけど、ハーディという人は、映画で描かれているのとはだいぶ違う人格の数学者だと思い知らされる。黒川さんのこの本には、黒川さん自身が同じような経験をしたことを告白している。どんなことかは本で確認されたし。

　さて、「シン・リーマン予想」の話に移ろう。

ゼータ関数の顕著な特徴は、「素数の無限積」で表わされる、ということだ。すなわち、

という全素数にわたる積で表わされる。これを「オイラー積」と呼ぶ。なぜこうなるかは、拙著で理解してほしい(くどいと怒るなかれ。販促の故ですがな)。

L関数もオイラー積表現を持ち、以下である。

積は全奇素数にわたり、4n+1型素数については分子の符号はプラス、4n+3型素数については分子の符号はマイナスになっている。

「シン・リーマン予想」の着眼点は、「オイラー積の収束の様子を見る」ということだ。

L関数(無限和)は、(の実部)>1で絶対収束する。ここで絶対収束とは、各項の絶対値をとっても和が収束することで項の順序を入れ換えられる。L関数のオイラー積も(の実部)>1で絶対収束する(無限積の絶対収束とは、無限積が収束すること。積の順序を入れ換えられる)。

問題は、(の実部)=1や0<(の実部)<1ではどうなるか？ということ。L関数(無限和)は、0<(の実部)≦1で条件収束することがわかっている(順序を変えずに足せば収束するということ)。他方、オイラー積は(の実部)=1で条件収束することがわかっており(メルテンスの定理)、また、0<(の実部)<に対しては発散することが分かっている。だから問題になるのは、

≦(の実部)<1

でどうなるか。そこで、「オイラー積は<(の実部)<1に対して条件収束する」という予想が「オイラー積収束予想」と呼ばれる。これが証明できれば、L関数のリーマン予想は証明されてしまう。なぜなら、オイラー積が収束すればそれは非零(０でない)だとわかるからだ。オイラー積が収束か発散かを調べるのだから、具体性があり、零点全部の実部を考えるよりずっとアプローチしやすそうに見える。

そして、残るひとつ、「オイラー積は(の実部)=に対して(零点以外では)条件収束する」を「シン・リーマン予想」と呼ぶ。実は、この「シン・リーマン予想」が証明されれば、「オイラー積収束予想」もおまけとして出てしまう。なぜなら、もしも、<(の実部)<1のどれかので発散したとすれば、より実部の小さい任意ので発散することになるので、でも発散することになるからだ。したがって、

「シン・リーマン予想」⇒「オイラー積収束予想」⇒「リーマン予想」

というふうに演繹されるから、「シン・リーマン予想」が「リーマン予想」より強い予想であるとわかる。

ちなみに条件収束の雰囲気を理解するために、「メルテンスの定理」を記述しておく。慣れないと記号が難しいと思うが、条件収束を理解するためにはこうするしかないのでご容赦いただきたい。

これは、以下の奇素数についてのオイラー積を作っておいて、としているので、素数の小さい順からオイラー積に参加させていって極限をとっていることを意味する。つまり、オイラー積がに「条件」収束することを表している。ちなみに、L関数ののときの値L(1)は、上の定義から、

だが、これがに収束することは、高校数学でも証明できる程度のことだ(tanの積分)。

「シン・リーマン予想」は、(証明しやすいか否かはさておき)、実証的に検証するには向いている定理である。以下の図は、プレプリント「EULER PRODUCTS BEYOND THE BOUNDARY」(KIMURA, KOYAMA,KUROKAWA(2013))をコピペしたものである(プレプリントのリンク先は一番最後に張る)。この図は、黒川・小山『ラマヌジャン<<ゼータ関数論文集>>』日本評論社にも、小山『素数とゼータ関数』共立出版にも掲載されている。

横軸は、のを、各曲線は参加する素数を小さい方から10個、100個、1000個として計算した有限部分を表している(上図が実部で、下図が虚部)。この図で、オイラー積の参加素数を小さい順に増やしていくと、オイラー積の値がL関数の値に近づいていくことが見てとれる。「シン・リーマン予想」が正しそうな証拠だ。

面白いのは、ディリクレ指標を変えると不思議な現象が起きることである。

上の図は、あるディリクレ指標に対するものだが、でジャンプが見れらる。これは、L関数の1/2における値ではなく、その倍に収束するように見える。これも「シン・リーマン予想」の一部である。

(参考文献)TARO KIMURA∗, SHIN-YA KOYAMA, AND NOBUSHIGE KUROKAWA;

``EULER PRODUCTS BEYOND THE BOUNDARY''   https://arxiv.org/abs/1210.1216 

(このプレプリントの著者の一人の方に、きれいな図版のDLの仕方を教えていただきました。ありがとうございます！9/25)

以上のように、「シン・リーマン予想」の発見から、リーマン予想は新しい段階に入ったと言えるだろう。ぼくの新著では、この「シン・リーマン予想」に触れる余裕がなかったが、ぼくの新著でリーマン予想に触れた上で、(はい、しつこいですね、笑)、是非とも「シン・リーマン予想」に踏み出し、できますれば、これを解決して(１億円ゲットして)ほしい。参考文献を下にリンクする。

ラマヌジャンζの衝撃 (双書―大数学者の数学)

ラマヌジャン《ゼータ関数論文集》

素数とゼータ関数 (共立講座 数学の輝き)

リーマン予想の探求 ~ABCからZまで~ (知りたい! サイエンス)

 

リーマン予想の先へ 深リーマン予想――DRH

ぼくの新著で「素数名人」まで昇りつめてください。

ぼくの新著『素数ほどステキな数はない』技術評論社が、書店に並んだ頃だと思うので、二回目の販促エントリーをしたいと思う。今回は、「まえがき」をさらして、それに補足をすることと、ラマヌジャンについてちょっと紹介する。一回目の前回は、

新著『素数ほどステキな数はない』が出ます！ - hiroyukikojima’s blog

のエントリー。ここでは目次を晒してあるので、そっちも参照して欲しい。

素数ほどステキな数はない 　～素数定理のからくりからゼータ関数まで～ 知の扉

ではまず、まえがきを披露しよう。次である。

素数とは、1と自分自身以外に約数を持たない2以上の整数です。みなさんは、素数のことを耳にしたことがあるでしょうし、また、素数は不思議な数だと知っておられるでしょう。本書は、そんな素数の魅力を余すことなく紹介する本です。

本書のウリを箇条書きすると次のようになります。素数に敬意を表し、番号は素数としました。

2.素数の法則を初歩から最先端までありったけ網羅した。

3.素数に挑んだ数学者たちの人となりを紹介した。

5.できるだけ本書内で知識が閉じる(self-contained)ように、必要な数学ツールに初歩からのわかりやすい解説を付けた。

7.素数のナゾを解き明かしながら、高校・大学の数学を自習できるようにした。だから、数列・場合の数・対数・三角関数・無限和・微分積分・虚数・合同式の参考書としても使える。

11.ゼータ関数について、これ以上簡単に説明するのはムリというぎりぎりの解説に挑戦した。

13.素数定理とベルトラン予想の証明を書ききった。

17.素数を使う数理暗号について、わかりやすい紹介をした。

さて、あなたも是非、本書で、「素数名人」まで昇りつめて下さい。そうすれば、素数に恋するワクワク・ドキドキの豊かな人生を送れること請け合いです。

「ウリ」は見ての通り、7項目もあるのだが、今回は、青字で強調した二つの項目について補足的な売り込みをしたい。

まず、「素数のナゾを解き明かしながら、高校・大学の数学を自習できるようにした」という点。前回にエントリーした目次を見てもらえばわかるのだけど、本書には素数との関連で、高校数学の多くの単元が現れている。二段編では数列(等差数列、2次の数列、等比数列)、三段編では対数関数(log)、四段編では合同式、五段編では順列・組合せ、六段編では極限・無限和、七段編では複素数、八段編では微積分という具合だ。だから、高校数学のほとんどの単元が素数と関連づけられることになったわけだ(残念ながら、ベクトルだけは結び付けられなかった)。そういうわけで、本書を使って、高校数学をおさらいできる(あるいは予習できる)ように仕組まれている。高校数学の無味乾燥さに耐えられなくて数学アレルギーを発症した人も、もしも素数に惹かれる人なら、素数を愛でながら高校数学にリベンジできてしまうかもしれない。また、高校以上の数学を先取りしたいけど、教科書とか参考書はつまらないから嫌、という中学生も、わくわくしながら高校数学を先取りできるようになっている。そういう隠れたニーズも踏まえて、本書では高校数学の単元についてもできるだけ初歩から丁寧に解説した。本書は二人の友人に査読してもらったのだけど、そのうちの一人には、「小島くん、この本を読み通せるような人に、こんな初歩の解説は無用なんじゃない？」という疑問を投げかけられた。けれどもぼくは、その人が思っているよりも、数学と一般の人との関係性は多様だと思っている。実際中学生のときのぼくは、高校数学を知らなかったけど、本書を読み通せたと思う。つまり、すぐ上に書いたタイプの中学生だったのだ。そういう意味では、本書は、中学生のときのぼくが欲しただろう本として執筆したつもりだ。

　さらには、本書は、大学数学の自習に使えるようにもなっている。例えば、テイラー展開とか広義積分とかガンマ関数とかを解説している。とりわけ、微分の解説では、高校数学の定義に加えて、ランダウ記号を使った定義をメインに据えたのが特徴だ。関数のランダウ記号表現(みたいなやつ)は、素数についての専門書を読むと必ずふんだんに登場するが、どの本でもこの概念を丁寧には解説していない。これは、専門家でない人たちを素数の魅力から遠ざける障壁になっていると思う。だから本書では、ランダウ記号について、ものすごく丁寧な解説をすることにした。

　もうひとつ、大学でも、数学科や物理学科などの理学分野でしか教わらないであろう「複素関数の微分積分」についても初歩からの解説を導入した。例えば、コーシーの積分定理(正則関数を閉経路でぐるっと積分すると0になる)とか留数定理(積分値が1位の極のところで決まる)などだ。ただ、ページ数の関係で厳密な扱いができないので、かなり乱暴で大胆な解説をしているけど、それでも定理の急所・本質が伝わるように紹介したつもりだ。

　「ウリ」の中でもう一つ強調しているのは、「ベルトラン予想の証明を書ききった」という点だ。「ベルトラン予想」というのは、「任意の自然数に対して、より大きく以下の素数が必ず存在する」というものだ。ベルトランが予想して、チェビシェフが証明したので、「ベルトラン=チェビシェフの定理」とも呼ばれる。本書では、九段編で「ラマヌジャンによる証明」を解説した。しかも、この証明はほとんど省略をしてない完全版だ。ラマヌジャンのアクロバットのような証明が理解できてしまうと、彼がいかに時代を超越した数学の天才だったか思い知らされる。皆さんも是非、本書でラマヌジャンのファンになってほしい。

　ラマヌジャンと言えば、ぼくはつい最近、映画『奇跡がくれた数式』をHuluで観た。

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これはラマヌジャンの生涯を描いた物語だ。この映画では、ラマヌジャンの天才性がわかるだけではなく、20世紀初めのインドとイギリスの文化や歴史もみごとに描き出されていて、映画として十分に堪能できる。ただし、ラマヌジャンをケンブリッジに招聘した数学者ハーディについて、その複雑な性格をきちんと描いているものの、最終的にはちょっと良い人と持ち上げてる感が否めない。

　数学者の黒川信重さんは、ハーディとラマヌジャンの関係について、黒川信重『ラマヌジャン　ζの衝撃』現代数学社で詳しく論じているので、是非読んでほしい。ぼくの昔のエントリー

ラマヌジャンの印象が衝撃的に変わる本 - hiroyukikojima’s blog

でも紹介しているので、これも参照のこと。

今回は黒川さんの本から、ハーディとラマヌジャンの関係について書いている部分を引用しよう。(ぼくの新著では、黒川さんのもう一冊『ラマヌジャン探検』岩波書店から同じような評価を引用している)。

一番残念なことは、ハーディは最初から最後までラマヌジャンを真に信用し理解することができなかったことです。それは数学の専門家として、他人を疑ってかかるのが当然、という体質が染みついていたせいでしょう。ハーディによれば、ラマヌジャンは複素関数論を全く知らなかったそうです。それが本当だとしたら、適切な教科書を教えてあげれば良いのに、と思うのが人情ですが、ハーディはそうではなかったようです。

そして、次のようにハーディの気持ちを分析する。

　人間のやっかいな感情に「ジェラシー(焼き餅。嫉妬)」というものがあります。とくに、数学ではどんどん発見を行う人にジェラシーを感じないわけには行かないものでしょう。実際、別のすっきりした道を通って、ずっと先まで行き着いているのを見たら、そうなるでしょう。ラマヌジャンにハーディが持った感情の底には、それもあったことでしょう。

映画で見る限り、ラマヌジャンへの評価は、ハーディの相方リトルウッドのほうが高かった感じがある。リトルウッドが、当時、第1次大戦のせいで軍部に出向していたのが、ラマヌジャンの不運の一因だったかもしれない。

そんなこんなで、ぼくの新著の九段編を、ラマヌジャンの追悼にも使ってほしいと思う。

ラマヌジャンζの衝撃 (双書―大数学者の数学)

ラマヌジャン探検－天才数学者の奇蹟をめぐる (岩波科学ライブラリー)

新著『素数ほどステキな数はない』が出ます！

前回のエントリー

たくさんのインスパイアをもらえる熱力学の教科書 - hiroyukikojima’s blog

で予告した新著が、いよいよ今週末に書店に並ぶので、今回から数回、販促をエントリーすることにしたい。新著は、小島寛之『素数ほどステキな数はない』技術評論社である。

素数ほどステキな数はない ~素数定理のからくりからゼータ関数まで

この本は、素数についてめちゃくちゃ真正面から取り組んだ本だ。初歩から発展まで、古典から最先端まで網羅して解説している。

ぼくには既に、素数の性質を解説した本として、『世界は素数でできている』角川新書がある。この本とどこが違うかというと、今度の本は多くの定理にきちんと証明を与えている(あるいは証明のポイントを与えている)、ということだ。しかも、数学を専門に勉強したことがなくても、がんばればどうにか理解できるぐらいの平易さと丁寧さで証明を解説しているのである。これは、新書ではとてもできない芸当だった。だから、角川新書版はほとんどを「お話」に終始している。しかし、今回の本は、351ページものページ数(めっちゃ大部じゃ)を与えてもらえたので、じっくりと、そして道具立ての初歩から、解説を展開することができたのだ。

　今回は、まず、目次と各章の簡単なあらすじを晒すことにしよう。章名は、趣向として、将棋の棋士の等級に合わせた。以下である。

『素数ほどステキな数はない』目次と概要

[入門編]　素数ほど面白い数はない

(素数の末尾の法則、双子素数予想、ゴールドバッハ予想、メルセンヌ素数)

[初段編]　なぜ、素数は無限にある？

(素数が無限個ある証明、ユークリッド-マリン数列)

[二段編]　数列の中の素数

(等差数列を成す素数、オイラーの素数2次式、メルセンヌ素数とリュカテスト)

[三段編]　対数関数と素数

(対数の定義、素数定理、チェビシェフ第1関数と第2関数)

[四段編]　合同式と素数とRSA暗号～フェルマーの小定理、オイラーの定理

(合同式、フェルマーの小定理の証明、オイラーの定理の証明、ウィルソンの定理の証明、RSA暗号の仕組みと電子署名)

[五段編]　順列・組合せと素数～素数定理への最初のアプローチ

(組合せ数の公式、フェルマーの小定理の証明、素数定理の直感的導出)

[六段編]　無限和と素数～オイラーの大発見

(無限和の定義、オイラーの素数定理、エルデシュによる証明、双子素数)

[七段編]　虚数と素数

(複素数、フェルマー2平方定理、ガウス素数による証明、平方剰余、2次体)

[八段編]　素数と微分積分

(微分、ランダウ記号、積分、微積分学の基本定理、対数積分Li(x))

[九段編]　ラマヌジャンとベルトラン=チェビシェフの定理～ψ(x)による証明

(ベルトラン予想、ラマヌジャンによる証明の完全収録)

[A級編]　複素数上の微分積分

(複素関数の微分積分、オイラーの公式、コーシーの積分定理、コーシーの積分公式、ガンマ関数、解析接続)

[名人編]　ゼータ関数・リーマン予想・素数定理

(ゼータ関数、オイラー積、リーマン予想、オイラー素数定理の証明、ディリクレの算術級数定理の証明、明示公式の証明、素数定理の証明)

ご覧の通り、素数ファンにはよだれの出る素数ずくしのメニュー。どの編にも、ぼくの素数愛がみなぎっているので、きっと微笑みながら読み通せるはずだ。

さあ、書店に急ごう。

たくさんのインスパイアをもらえる熱力学の教科書

　今回は、田崎晴明『熱力学=現代的な視点から』培風館を紹介しようと思う。これは、熱力学の教科書なのだが、非常に異色であり、教科書というよりは「思想書」のような風情だ。なぜなら、本書からは、熱力学だけじゃなく、たくさんのインスパイアを得られるからだ。

熱力学―現代的な視点から (新物理学シリーズ)

 ぼくは本書は相当昔から持っていたし、読んでなんとか熱力学を理解したいと思っていたけど、ぱらぱらめくってみては、「ちょっと無理」と感じて書棚に戻す、ということを繰り返していた。

そんな本書を、今回は、第6章まで一気に読めてしまった。なぜ読めるようになったかというと、友人の物理学者・加藤岳生さんの東大での熱力学の講義資料をもらって独習したことがきっかけだった。この東大での講義は、「さすが加藤くん」というみごとなもので、ぼくは加藤さんの講義で、宿願だった熱力学の本質の一端をつかむことができたのだ。

　そうした結果、今こそ田崎『熱力学』を読めるようになったのではないか、と思いたって、満を持してチャレンジしてみた。そうしたら、なんと！読めてしまったのだ。そればかりではなく、数学エッセイストとして、また経済学者として、大きなインスパイアをもらうことになったのである。この本を理解できてしまうと、「これ以上の熱力学の解説はありえないのではないか」とまでの衝撃を受けた。(加藤くん、ごめん。せっかく資料をくれたのに。笑)

　この本で読者は、たくさんのサプライズを受け取ることができ、「世界の仕組みがどうなっているか」「人間は、それをどう受け取り、どう理解するべきか」ということを、熱現象という物理現象を通して教えてもらえるだろう。

　そのサプライズには、「等温操作と断熱操作が、どう(公理論的に)本質的に異なるか」とか「`熱'というのが、実は認識不可能なもの」とか「エントロピーが完璧にわかっちゃう」とか「自由エネルギーが最初から出てくる」とかいろいろある。でも、それは次回以降にエントリーするとして、今回は本書にみなぎっている「思想」方面についてだけ紹介しようと思う。

　田崎さんは本書の第1章で、熱力学に対する思想を熱く語っている。これは田崎さんの本に共通する姿勢である。そして、それらの熱力学に関する思想と熱力学に注ぐ眼差しからは、たくさんのインスパイアを受けとることができる。とりわけ、経済学の研究者として、得るものは大きかった。田崎さんが論じているのは、「熱力学におけるマクロとミクロの関係」だ。経済学も「マクロとミクロの関係」では同じ難題に直面しているから、刺さるものがある。例えば、以下のような記述だ。

熱力学や流体力学のようなマクロなスケールでの理論(現象論)は、よりミクロな「基本的な」理論の「近似」と見なすのが還元主義の立場である。還元主義の見方が首尾一貫しているのは確かだが、私は優れた現象論は、近似などではなく、それ自身、ミクロな理論から「独立して」存在し、ある普遍的な構造を厳密に記述するものだと捉えている。

ぼくは常々、経済学が「悪しき還元主義」に陥っているのではないかと疑ってきたので、この指摘には溜飲下がる。さらに田崎さんは次のように展開する。原文は長いので、わかりやすさを優先し、引用ではなく箇条書きで要約する。

ミクロな理論を出発点とした熱力学は、少なくとも以下の3点で望ましくない。

1.マクロな世界を記述する自立した普遍的な構造という熱力学の最大の特徴が見失われる。

2.物理学を経験科学として見たとき、ミクロな統計物理学がマクロな熱力学の基礎だと考えるべきではなく、逆に、マクロな熱力学がミクロな統計物理学の基礎だと考えるべき。

3.現在のところは、統計物理学はミクロな力学とマクロな熱力学の両側から、それぞれ部分的に支えられ成立している。このような事情を踏まえれば、統計物理学から熱力学を導こうという考えは、一種の堂々巡りとみることさえできる。

これなども、そのまま経済学に置き換えることができると思う。田崎さんは、この節の締めくくりとして、次のように述べている。

人類が経験と理性で織りなした普遍的な構造の網が、かつては理解不能だった様々な現象を覆うようになっていく。そして、人類の認識の進歩につれて、この網はより豊かに、そして、より精密になっていく。このような科学観は、たった一つの「究極の」ミクロの理論が存在し、それ以外のすべての理論はそこから「近似理論」として導出されるという還元主義的な科学観よりも、少なくとも私には、はるかに魅惑的に感じられる。

この言葉からは、ひしひしと伝わるものがあるし、ぼくの経済学の研究の方向性に大きなインスパイアを与えられる。もちろん、「じゃあ、どうすればいいのか」は、まだぼんやりとしか見えないのだが。

　この本の熱力学の解説がいかにすばらしいかは、上で書いた通り、次回以降にエントリーするつもり。でも、次回は、ぼくの新著『素数ほどステキな数はない』技術評論社の販促エントリーになるから、笑、だいぶ先のことになると思う。

素数ほどステキな数はない ~素数定理のからくりからゼータ関数まで

数学と友達になれて、リーマン予想とお近づきになれる本

すっごい長い間、ブログを休んでしまった。新著の執筆・校正をしてたのと、論文を複数並行して作成していたことに起因するんだけど、オンライン講義のせいも大きい(共同研究者がきっとこのブログ読んでいるんで、こんなん書くなら、論文を進めろと怒りそうだし)。

で、久しぶりの今回は、小山信也『「数学をする」ってどういうこと？』技術評論社の紹介をしようと思う。

「数学をする」ってどういうこと?

 その前に、近況を少しだけ。

まずは、じゃーん、映画「シン・エヴァンゲリオン」を観てきました！いやあ、すごい映画だった。アニメでできることのほとんどすべてがやられてるんだろうな、って思った。ただただ映像に圧倒された。

ぼくは、少し前まで、エヴァには全く関心なかった。興味を持ったのは、「シン・ゴジラ」を観てからなのだ。

シン・ゴジラ観てきた。シン・ゴジラ観るべし - hiroyukikojima’s blog

この映画で庵野監督のファンになって、それから遅まきながら以前の映画版エヴァを観た次第。そんなだから、「シン・エヴァンゲリオン」は物語が半分ぐらいしかわからなかったけど、それでも、「これはすごいアニメだ」ということだけはわかった。何について触れてもネタバレになってしまいそうなので、この辺にしておく。

あと、音楽については、

パワフルで不思議なテータ関数 - hiroyukikojima’s blog

に書いた通り、バンド「ずとまよ」にはまっているわけだけど、最近リリースされた「ぐされ」はめちゃめちゃすごい。アルバムの出来も最高なんだけど、おまけでついてるブルーレイのライブが死ぬほどすばらしい。ずとまよの衝撃は、バンド「相対性理論」以来だと思う。すべてが完璧すぎて、わなわな震える。リーダーのACAねさんは、「遂に日本にザッパが現れた」と思わせる天才さだ(迷惑だと言われそう、笑)。現在に聴くことのできる最高の音楽だと思う。

　さて、小山信也『「数学をする」ってどういうこと？』に戻ろう。小山先生と言えば、ゼータ関数の専門家だけど、この本では、数学そのものの見方・考え方・使い方を懇切丁寧に語っている。完全な数学音痴でも読める(ところが多い)。

　三部構成になっていて、

第Ⅰ部「日常編」、第Ⅱ部「無限への挑戦」、第Ⅲ部「ゼータ編」

である。第Ⅰ部は、主に新型コロナ肺炎をテーマに、こういう未知のパンデミックについて、どう数学を適用していくかを解説している。毎日、ニュースやSNSで見かける議論について、それこそ算数レベルの計算でアプローチしていて、それでも「なるほど」という結論が導ける。読めば目から鱗の人が多いと思う。

第Ⅱ部は、「無限」に関する数学を易しく解説している。これは、「無限」という数学固有の概念、そしてだからこそ、人間の思考の本性について、その深淵を垣間見せてくれるものだ。もちろん、第Ⅲ部のゼータ関数への伏線ともなっている。

ただ、ここにはぼくも一家言あるので、書き添えておく。ぼくは、「アキレスと亀」の解決を「無限和の収束」に求めるのはお門違いだ、という思想を持っている。なぜなら、それだと、「アキレスと亀」という形而上の議論に、別の形而上の議論で反論しているだけにすぎないからだ。単に「特定の無限和が収束する」ことを手前みそに定義しておいて、「だからアキレスは亀に追い付く」と言っているに過ぎないから、そんなのなんの反論にもならないと思うのだ。その「定義」が「我々のこの現実」である証拠はない。むしろ、「アキレスと亀」の議論のほうがずっと深淵な「現実に対する問いかけ」をしていると思う。この点については、詳しくは拙著『無限を読みとく数学入門』角川ソフィア文庫を参照して欲しい。

　さて、数学の素人とは言えないぼくには、結局は、第Ⅲ部がめちゃくちゃ面白かった。Ⅰ部とⅡ部が平易だからと言って見くびってはいけない。この第Ⅲ部には、最先端(2010年以降)のゼータ研究が投入されているのだ。それは、「深リーマン予想」と呼ばれるリーマン予想を超えた予想についてだ。

リーマン予想というのはリーマン・ゼータ関数に関する予想だ。リーマン・ゼータ関数というのは、自然数のs乗の逆数和

のことで、この「虚の零点」(全複素数に解析接続した上で、実数でない零点)が一直線(実部が1/2の直線)上に並ぶ、というのがリーマン予想だ。大事なことは、が素数を使って表現できる、ということ、すなわち、

の素数pすべてにわたる積

 と表せる。これを「オイラー積」と呼ぶ。これによって、リーマン・ゼータ関数の零点と素数とが結びつくことになり、リーマン予想が正しければ、素数についていろいろわかるのである(詳しくは、拙著『世界は素数でできている』角川新書を参照のこと)。

一方、類似の関数として、「オイラーのL関数」というのがある。それは、

というもの。奇数のs乗の逆数の交代和となっている。これにもオイラー積があって、

の奇素数pすべてにわたる積・・・(☆)

ここで定数eは、pが4n+1型素数のときは、4n+3型素数のときはとなるもの。このL関数についても非自明な零点が一直線上に並ぶ(実部が1/2)と予想されており、これが「L関数のリーマン予想」だ。

この本では、「L関数のリーマン予想」に関するアプローチとして最新の研究を紹介している。それが「深リーマン予想」なのだ。今だったら、「シン・リーマン予想」と書いたほうが通りが良かっただろう(←完全ばか)

　L関数のリーマン予想は、1/2<s<1でオイラー積(☆)が収束することに帰着される。ただ、収束と言っても(テクニカルなことだけど)絶対収束ではなく条件収束だというのが大事だ。これが証明されれば、L関数のリーマン予想が正しいことがわかる。

　一方、「深リーマン予想」とは、「オイラー積(☆)がs=1/2で条件収束する」という予想。これは、リーマン予想より強い予想だから「深(シン)」とついている。この収束は、数値計算ではかなりな桁数まで確認されており、「正しそう」という手ごたえがあるのだそうだ。

　「オイラー積の収束を攻める」という戦略がわれわれアマチュアや高校・大学生に嬉しいのは、「解析接続した関数の零点」という見えざる相手が、「極限の収束」というどうにか見える気がする相手に置き換えられることだ。これは、リーマン予想の裾野を広げることに役立つと思う。

　最後に、小山信也『「数学をする」ってどういうこと？』でめちゃめちゃ興奮した解説をひとつだけ紹介しておこう。それは、「オイラー・メルテンスの定理」と呼ばれる公式、

のめちゃめちゃわかりやすい証明が解説されていることだ。この公式は、円周率と素数が結びつく、という感動の公式。でも証明に使われているテクニックは、ぼくの見るぶんには、単なる「エラトステネスのふるい」の応用である。まさか、この「ふるい」にこんな使い道があるとは、驚き桃ノ木であった。こんなわかりやすい証明があるとは知らなかった。

　本書は、このように、平易な語り口調ながら、日常から無限をめぐって、最後には最新のゼータ研究までに到達する、めちゃめちゃエキサイティングな数学啓蒙書だと言える。読まない手はない。

無限を読みとく数学入門　世界と「私」をつなぐ数の物語 (角川ソフィア文庫)

世界は素数でできている (角川新書)