パワフルで不思議なテータ関数

また、ひと月ほど間が空いてしまった。最近では、いまどき音楽好きおじさんの例に漏れず、夜好性のミュージシャンにはまっている。ぼくのはまった順は

ヨルシカ⇒YOASOBI⇒ずとまよ(←いまここ)

である。ヨルシカについては、

で熱烈に語っている。

夜好性はどのバンドも、斬新な歌詞と楽曲と、女性ボーカルの声質に特徴がある。今、集中的に聴いているユニット「ずっと真夜中でいいのに。」は、歌詞も楽曲も斬新で、直後の展開が予想できないような進行をする。楽器の演奏もバカテクだ(King Gnuに負けず劣らず)。また、独特な声質の女性ボーカルの、高音部と低音部の使い分けが絶品で、癖になって何度でもリピートしてしまう。いやあ、こういう斬新な音楽に出会えるのは、長生きしているご褒美だと思う。

　さて、今回は、「ヤコビのテータ関数」について語ろうと思う。

「ヤコビのテータ関数」は、ネピア定数 $e$ のべき乗を無限個足してつくられる関数。これを勉強したのは、二つのきっかけからだ。

第一は、今、素数についての啓蒙書を書いているから。ぼくは以前に、『世界は素数でできている』角川新書を上梓しているが、今書いている素数本は、横組みでもっと詳しい内容のものだ。

その本には、素数と言えばお決まりの「リーマン・ゼータ関数」が登場するが、テータ関数とリーマン・ゼータ関数には深い関係があるから、勉強をしたのだ。リーマン・ゼータ関数には「関数等式」という美しい等式があるのだが(あとで解説する)、その証明にテータ関数が利用されるからである。

一方、関数等式の勉強をしながら、「そういえば、テータ関数は、４平方定理の証明に使われたよな」と思い出したのが第二のきっかけである。「４平方定理」とは、「すべての自然数は、高々４個の平方数の和で表わされる」というフェルマーの発見した定理だ。0も平方数に含めれば、「すべての自然数は4個の平方数の和である」と言い換えてもいい。

　ぼくは、だいぶ前に出版した『世界は２乗でできている』講談社ブルーバックスの中で、「４平方定理」の証明方針を３通り紹介した。第一はラグランジュの証明で、「無限降下法」を使う初等的なものだ(初等的ではあるが、めっちゃアクロバットではある)。第二は、「p進数に関するハッセ原理」を使うもの。そして第三が、この「ヤコビのテータ関数」を使うものである。以下を参照のこと。

ステキな4平方数定理 - hiroyukikojima’s blog

しかし、この本を書いたときは、テータ関数を使う証明だけは、あまり深堀せずに、表面的になぞっただけだった。今回は、もうちょっと詳しくその証明を理解しようと思い立って、次の数論の本で勉強した次第である(とは言ってもまるまる厳密に理解したわけではない)。

数論II　岩澤理論と保型形式 (岩波オンデマンドブックス)

作者:黒川信重,栗原将人,斎藤毅
発売日: 2017/02/10
メディア: オンデマンド (ペーパーバック)

　ぼくは、このように、一つの数学ツール(関数や公式)が、全く別分野に見える複数の分野に応用できるとき、とてもほれぼれしてしまう。例えば、メビウス変換は数論にもゲーム理論にも応用される。あるいは、母関数は数論にも統計学にも登場する。同じように、テータ関数も「関数等式」と「4平方定理」とに登場するから、感動してしまう。

　ヤコビのテータ関数とは、 $z$ を変数とする関数で、 $e$ の指数を、(整数の平方)× $\pi i$ として、それを全整数について足し合わせたものだ( $\pi$ は円周率、 $i$ は虚数単位)。すなわち、

$\vartheta(z)=\cdots+e^{(-2)^2\pi i z}++e^{ (-1)^2\pi iz}+1+e^{1^2\pi i z}+e^{2^2\pi i z}+\cdots(=\Sigma_{n=-\infty}^{\infty}e^{n^2\pi i z})$

　この関数は、 $q=e^{2\pi i z}$ と置いて、 $q$ の無限次の多項式として書くことが多い。それは、

$\vartheta(z)=\cdots+q^{(-2)^2/2}+q^{(-1)^2/2}+1+q^{1^2/2}+q^{2^2/2}+\cdots(=\Sigma_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2/2})$

という形式だ。ヤコビはこの関数を使って、母関数の手法で「４平方定理」を証明したのである。やり方はこうだ。

　テータ関数の4乗、つまり、 $\vartheta(z)^4$ を考えよう。これは多項式としては、 $\vartheta(z)$ を4個掛け算し、それを展開したものだから、

$q^{n_1^2/2}q^{n_2^2/2}q^{n_3^2/2}q^{n_4^2/2}=q^{(n_1^2+n_2^2+n_3^2+n_4^2)/2}$

という項たちの和となっている。したがって、 $\vartheta(z)^4$ の多項式表現に、 $q^{m/2}$ の項が現れるならば(係数が0でないならば)、 $m$ は $n_1^2+n_2^2+n_3^2+n_4^2$ というふうに、4個の平方数の和で表わされることがわかる。しかも、 $q^{m/2}$ の項の係数は、「4個の平方数の和として何通りに現されるか(ただし、 $n_j$ が負の場合もカウントする)」までわかることになる。

ヤコビが証明したのは、次のことだそうだ。

「 $q^{m/2}$ の項の係数=8×( $m$ の約数で4で割り切れないものの総和)」

$m$ の約数で4で割り切れないものとして、少なくとも1が存在することから、

$q^{m/2}$ の項の係数≧8

が得られ、4平方定理が証明される次第だ。

例えば、 $m=2$ については、 $(\pm1,\pm1,0, 0)$ で4通り、これの $\pm1$ の位置を変えたものを考えれば、4×6=24通りの表現がある。一方、8×(2の約数で4で割り切れないものの総和)=8×(1+2)=24だから、確かに一致している。

このヤコビの公式を証明するために、上記の本では、(ヤコビの方法ではなく)、デデキント・ゼータ関数(有理数に虚数単位 $i$ を付加した2次体のゼータ関数)とラマヌジャンが1916年に編み出した計算法を用いている。簡潔に書いているが、相当に複雑な計算となっている。さすがラマヌジャン。

　もう一つの応用である「リーマン・ゼータ関数の関数等式」のほうに話を移そう。

リーマン・ゼータ関数とは、ご存知のように、自然数の $s$ 乗の逆数を総和したものである。

$\zeta(s)=\dfrac{1}{1^s}+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\dots$

この関数は、オイラーが研究して、リーマンが複素数全体に拡張したものだ。この関数は、負の偶数全部を零点として持っているので、邪魔なそれらを消すために、 $\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$ を掛ける。すると、「完備ゼータ関数」 $\hat{\zeta}(s)$ になる。これを使って、関数等式を表現すると、

$\hat{\zeta}(s)=\hat{\zeta}(1-s)$

となる。これは、完備ゼータ関数の値が、 $s$ と $1-s$ で一致することを述べている。例えば、 $\hat{\zeta}(2)=\hat{\zeta}(-1)$ のようになる。 $s$ と $1-s$ とは、1/2から反対側で等距離にあるから、「 $s=1/2$ に関する対称性」を表していると言える。未解決の難問「リーマン予想」は、 $\hat{\zeta}(s)=0$ となる零点 $s$ がすべて実部が1/2となる( $\frac{1}{2}+b i$ という複素数)、という予想だ。もしも、実部が1/2でない零点があると、1/2に関する対称点も零点だから、2個ずつ零点が増える。関数等式は、「リーマン予想」の秘密の一端を担っている予感がある。

さて、関数等式の証明を次の２冊から要約しよう。

リーマンと数論 (リーマンの生きる数学)

作者:信重, 黒川
発売日: 2016/12/08
メディア: 単行本

素数とゼータ関数 (共立講座数学の輝き)

作者:小山信也
発売日: 2015/10/24
メディア: 単行本

ガンマ関数 $\Gamma(s)$ は、 $e^{-x}x^{s-1}$ を変数 $x$ について0から∞まで積分して得られる変数 $s$ の関数である。

$\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx$

これは、確率論や統計学など多くの分野で頻出する関数で、そういう意味で、ほれぼれするパワフルツールの仲間だ。

この関数は、複素数全体に拡張する(解析接続する)ことができ、 $s$ が負の自然数のとき、値が∞になる。つまり、負の自然数がぜんぶ極となる。したがって、 $\Gamma(s/2)$ は負の偶数を極とするから、 $\zeta(s)$ の零点と打ち消し合いが起きて、完備ゼータ関数 $\hat{\zeta}(s)$ では負の偶数が零点ではなくなるのだ。

この $\Gamma(s/2)$ に $\pi^{-s/2}$ と自然数の $s$ 乗の逆数 $n^{-s}$ を掛け算した積分は、

$\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(s/2)n^{-s}=\int_{0}^{\infty}\pi^{-\frac{s}{2}}e^{-x}x^{\frac{s}{2}-1}n^{-s}dx$

この式で、 $y=\pi^{-1}n^{-2}x$ と変数変換して、置換積分をすれば、

$\int_{0}^{\infty}e^{-\pi n^2y}y^{\frac{s}{2}-1}dy$

となる。ここで、 $e^{-\pi n^2y}$ は $e^{n^2\pi i z}$ に $z=i y$ を代入したもの。したがって、テータ関数の１つの値だと見なせる。そこで、全自然数 $n=1,2,3,\dots$ について足し上げれば、次の式が得られる。

$\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})(\dfrac{1}{1^s}+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\dots)=\int_{0}^{\infty}(e^{-\pi 1^2y}+e^{-\pi 2^2y}+\dots)y^{\frac{s}{2}-1}dy$

テータ関数を改めて、 $\vartheta(x)=e^{-\pi 1^2y}+e^{-\pi 2^2y}+\dots$ と(面倒だから同じ記号で)定義し直せば(つまり対称な和の片方を同じ記号で書いている)、

$\hat{\zeta}(s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\zeta(s)=\int_{0}^{\infty}\vartheta(x)x^{\frac{s}{2}-1}dx$

という公式が得られる。これはリーマンの第二積分表示と呼ばれるものだ。この公式を使うと、ゼータ関数の関数等式が証明できる。上記の小山先生の本から引用しよう。

　この積分を0から1までの部分と1から∞の部分に分け、前者の $x$ を $\frac{1}{x}$ に変数変換すれば、1から∞までの $\vartheta(\frac{1}{x})$ に関する積分に変わり、それを、「テータ変換公式」

$1+2\vartheta(\frac{1}{x})=\sqrt{x}(1+2\vartheta(x))$

を使って書き換えると、

$\hat{\zeta}(s)=\int_{1}^{\infty}\vartheta(x)(x^{\frac{s}{2}}+x^{\frac{1-s}{2}})\frac{dx}{x}-\frac{1}{s(1-s)}$

が得られる。複雑で頭がくらくらするかもしれないが、欲しいのは $s$ と $1-s$ とに関する対称性だから、ちょっと観察すれば、簡単にそれがわかる。 $s$ を $1-s$ に置き換えると、 $x^{\frac{s}{2}}$ と $x^{\frac{1-s}{2}}$ が入れ替わるが、 $x^{\frac{s}{2}}+x^{\frac{1-s}{2}}$ は不変。 $s$ と $1-s$ が入れ替わるが、 $\frac{1}{s(1-s)}$ は不変だ。したがって、